As dimensões de uma caixa retangular fechada são
e 3 m , com erro possível de
em cada medida. Por meio de diferenciais, aproxime o erro máximo no volar calculado
do volume
do volume
Passo 1
O enunciado fornece as dimensões de uma caixa retangular fechada e o erro possível em cada medida. Especificamente:
- Comprimentos:
, e . - Erro possível em cada medida:
.
O que se pede: usando diferenciais, aproximar o erro máximo no valor calculado do volume.
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar todas as quantidades nas mesmas unidades. Converter o erro de centímetros para metros:
Denotando por
,
,
os erros nas medidas
, temos que o máximo valor absoluto possível para cada um é
.
Passo 3
Escrever a fórmula do volume e o conceito de diferencial. O volume da caixa é
A ideia da diferencial é aproximar a variação do volume
para pequenas variações
pela soma das derivadas parciais multiplicadas pelas variações:
Aqui cada derivada parcial diz como
muda quando só uma das variáveis muda, deixando as outras fixas.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
:
Substituindo os valores
,
,
obtemos os coeficientes numéricos:
Passo 5
Escrever a aproximação da variação do volume no ponto dado:
Para obter o erro máximo absoluto assumimos que os sinais de
sejam tais que cada termo contribua positivamente para
(isto é, tomamos magnitudes e somamos, porque os coeficientes são positivos). Assim
Substituindo
,
Passo 6
Converter esse erro para unidades mais familiares (centímetros cúbicos), sabendo que
:
Passo 7
Comentário final de interpretação (útil para a prova): o volume nominal é
. A aproximação do erro relativo é
ou seja, menos de
. Isso é bom para avaliar se o erro absoluto encontrado é significativo no contexto do problema.