As dimensões de uma caixa retangular fechada são 1 \mathrm{~m}, 2 \mathrm{~m} e 3 m , com erro possível de 0,16 \mathrm{~cm} em cada medida. Por meio de diferenciais, aproxime o erro máximo no volar calculado
do volume

Passo 1

O enunciado fornece as dimensões de uma caixa retangular fechada e o erro possível em cada medida. Especificamente:
  • Comprimentos: x=1\\ \mathrm{m}, y=2\\ \mathrm{m} e z=3\\ \mathrm{m}.
  • Erro possível em cada medida: \pm 0,16\\ \mathrm{cm}.
O que se pede: usando diferenciais, aproximar o erro máximo no valor calculado do volume.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar todas as quantidades nas mesmas unidades. Converter o erro de centímetros para metros:
0,16\\ \mathrm{cm} = 0,16\cdot 0,01\\ \mathrm{m} = 0,0016\\ \mathrm{m}.
Denotando por dx, dy, dz os erros nas medidas x,y,z, temos que o máximo valor absoluto possível para cada um é |dx|=|dy|=|dz|=0,0016\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Escrever a fórmula do volume e o conceito de diferencial. O volume da caixa é
V = x y z.
A ideia da diferencial é aproximar a variação do volume dV para pequenas variações dx,dy,dz pela soma das derivadas parciais multiplicadas pelas variações:
dV \approx \frac{\partial V}{\partial x}\,dx + \frac{\partial V}{\partial y}\,dy + \frac{\partial V}{\partial z}\,dz.
Aqui cada derivada parcial diz como V muda quando só uma das variáveis muda, deixando as outras fixas.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de V=x y z:
\frac{\partial V}{\partial x}=y z,\qquad \frac{\partial V}{\partial y}=x z,\qquad \frac{\partial V}{\partial z}=x y.
Substituindo os valores x=1, y=2, z=3 obtemos os coeficientes numéricos:
y z = 2\cdot 3 = 6,\quad x z = 1\cdot 3 = 3,\quad x y = 1\cdot 2 = 2.

Passo 5

Escrever a aproximação da variação do volume no ponto dado:
dV \approx 6\,dx + 3\,dy + 2\,dz.
Para obter o erro máximo absoluto assumimos que os sinais de dx,dy,dz sejam tais que cada termo contribua positivamente para |dV| (isto é, tomamos magnitudes e somamos, porque os coeficientes são positivos). Assim
|dV|_{\max} = 6|dx| + 3|dy| + 2|dz|.
Substituindo |dx|=|dy|=|dz|=0,0016\\ \mathrm{m},
|dV|_{\max} = (6+3+2)\cdot 0,0016 = 11\cdot 0,0016 = 0,0176\\ \mathrm{m}^3.

Passo 6

Converter esse erro para unidades mais familiares (centímetros cúbicos), sabendo que 1\\ \mathrm{m}^3 = 10^{6}\\ \mathrm{cm}^3:
0,0176\\ \mathrm{m}^3 = 0,0176\cdot 10^{6}\\ \mathrm{cm}^3 = 1,76\times 10^{4}\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 7

Comentário final de interpretação (útil para a prova): o volume nominal é V=1\cdot2\cdot3=6\\ \mathrm{m}^3. A aproximação do erro relativo é
\frac{|dV|_{\max}}{V}\approx\frac{0,0176}{6}\approx 0,00293\approx 0,293\%,
ou seja, menos de 0,3\%. Isso é bom para avaliar se o erro absoluto encontrado é significativo no contexto do problema.

Resposta

0,0176\\ \mathrm{m}^3 = 1,76\times10^{4}\\ \mathrm{cm}^3

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