Q.3: Calcule as ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS e ASSÍNTOTAS VERTICAIS da função abaixo, se existirem. Caso não existam, justifique sua resposta.
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+x+1}}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS e as ASSÍNTOTAS VERTICAIS da função
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+x+1}}{x}.
Informações dadas:
  • A função está definida por essa expressão para os x onde a raiz e a divisão fazem sentido.
  • Preciso identificar todos os valores de x que geram assíntotas verticais e os limites em \pm\infty que geram assíntotas horizontais.

Passo 2

Determinar o domínio (informação relevante para assíntotas verticais).
  • O radicando é x^{2}+x+1. Calcular o discriminante:
\Delta = 1^{2}-4\cdot1\cdot1 = 1-4 = -3 < 0.
Como \Delta<0 e o coeficiente de x^{2} é positivo, a quadrática x^{2}+x+1 é positiva para todo x\in\mathbb{R}. Logo a raiz quadrada está bem definida para todo real.
  • A única restrição vem do denominador x: não pode ser 0. Portanto o domínio é \mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 3

Conceito e teste para assíntota vertical.
  • Definição prática: x=a é assíntota vertical se, ao aproximar x de a pela direita ou pela esquerda, f(x) tende a +\infty ou -\infty.
  • Aqui o único ponto do complemento do domínio interior é x=0. Então investigamos os limites laterais em 0.
Calcular limites laterais em x=0:
  • Para x\to 0^{+}: o numerador tende a \sqrt{0^{2}+0+1}=\sqrt{1}=1, e o denominador tende a 0^{+}. Portanto
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\sqrt{x^{2}+x+1}}{x} = \frac{1}{0^{+}} = +\infty.
  • Para x\to 0^{-}: o numerador também tende a 1, o denominador tende a 0^{-}. Portanto
\lim_{x\to 0^{-}} \frac{\sqrt{x^{2}+x+1}}{x} = \frac{1}{0^{-}} = -\infty.
Como pelo menos um dos limites laterais diverge para infinito (de fato os dois divergem, com sinais opostos), x=0 é assíntota vertical.

Passo 4

Conceito e técnica para assíntotas horizontais.
  • Definição prática: y=L é assíntota horizontal à direita se \lim_{x\to+\infty} f(x)=L; é assíntota horizontal à esquerda se \lim_{x\to-\infty} f(x)=L.
  • Técnica útil: fatorar x^{2} dentro da raiz para observar o comportamento quando |x| é grande. Usar que \sqrt{x^{2}}=|x|.
Fatorando:
\frac{\sqrt{x^{2}+x+1}}{x} = \frac{\sqrt{x^{2}\!\left(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}}{x} = \frac{|x|\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}}{x}.

Passo 5

Limite quando x\to+\infty.
  • Para x>0 temos |x|=x, então
\frac{|x|\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}}{x}=\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}.
  • Como \dfrac{1}{x}\to 0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 quando x\to+\infty, segue que
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+x+1}}{x} = \lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}=1.
Portanto existe assíntota horizontal à direita: y=1.

Passo 6

Limite quando x\to-\infty.
  • Para x<0 temos |x|=-x, então
\frac{|x|\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}}{x}=\frac{-x\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}}{x}=-\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}.
  • Novamente \dfrac{1}{x}\to 0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 quando x\to-\infty, logo
\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+x+1}}{x}=-\lim_{x\to-\infty}\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}=-1.
Portanto existe assíntota horizontal à esquerda: y=-1.

Passo 7

Resumo final e incentivo: concluímos que a função tem uma assíntota vertical em x=0 e duas assíntotas horizontais diferentes nos dois sentidos: y=1 para x\to+\infty e y=-1 para x\to-\infty. Mandou bem chegando até aqui — essa técnica de fatorar x^{2} e cuidar do |x| é uma ferramenta que cai muito em prova!

Resposta

Assíntotas horizontais: y=1 (quando x\to+\infty)
y=-1 (quando x\to-\infty)
Assíntota vertical: x=0

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