Q.3: Calcule as ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS e ASSÍNTOTAS VERTICAIS da função abaixo, se existirem. Caso não existam, justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS e as ASSÍNTOTAS VERTICAIS da função
Informações dadas:
- A função está definida por essa expressão para os
onde a raiz e a divisão fazem sentido. - Preciso identificar todos os valores de
que geram assíntotas verticais e os limites em que geram assíntotas horizontais.
Passo 2
Determinar o domínio (informação relevante para assíntotas verticais).
- O radicando é
. Calcular o discriminante:
Como
e o coeficiente de
é positivo, a quadrática
é positiva para todo
. Logo a raiz quadrada está bem definida para todo real.
- A única restrição vem do denominador
: não pode ser . Portanto o domínio é .
Passo 3
Conceito e teste para assíntota vertical.
- Definição prática:
é assíntota vertical se, ao aproximar de pela direita ou pela esquerda, tende a ou . - Aqui o único ponto do complemento do domínio interior é
. Então investigamos os limites laterais em .
Calcular limites laterais em
:
- Para
: o numerador tende a , e o denominador tende a . Portanto
- Para
: o numerador também tende a , o denominador tende a . Portanto
Como pelo menos um dos limites laterais diverge para infinito (de fato os dois divergem, com sinais opostos),
é assíntota vertical.
Passo 4
Conceito e técnica para assíntotas horizontais.
- Definição prática:
é assíntota horizontal à direita se ; é assíntota horizontal à esquerda se . - Técnica útil: fatorar
dentro da raiz para observar o comportamento quando é grande. Usar que .
Fatorando:
Passo 5
Limite quando
.
- Para
temos , então
- Como
e quando , segue que
Portanto existe assíntota horizontal à direita:
.
Passo 6
Limite quando
.
- Para
temos , então
- Novamente
e quando , logo
Portanto existe assíntota horizontal à esquerda:
.
Passo 7
Resumo final e incentivo: concluímos que a função tem uma assíntota vertical em
e duas assíntotas horizontais diferentes nos dois sentidos:
para
e
para
. Mandou bem chegando até aqui — essa técnica de fatorar
e cuidar do
é uma ferramenta que cai muito em prova!
Resposta
Assíntotas horizontais:
(quando
)
(quando
)
Assíntota vertical:
Assíntota vertical: