Determine os valores de ® para os quais as equações a seguir têm a forma (y=e^{r x}) :
(a) $(y^{\prime \prime}-4 y=0);
(a) $(y^{\prime \prime}-4 y=0);
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores de
para os quais a função
é solução da equação diferencial
Informações dadas:
- A equação diferencial é
. - A função candidata é
. - O incógnita a encontrar é o número real (ou complexa)
tal que, ao substituir na equação, a igualdade seja satisfeita para todo .
Passo 2
Calcular as derivadas de
. Uma regra básica que vamos usar: se
é função de
, então
(regra da cadeia). Aqui
, então
. Portanto,
Derivando outra vez (aplicar a mesma regra a
):
Passo 3
Substituir
e
na equação
. Usando os resultados do passo anterior:
Fatorando
em evidência:
Passo 4
Argumento sobre a exponencial: para todo
real e qualquer
real (ou complexo com parte real finita), tem-se
. Assim, a única maneira da produto ser zero é fazer o outro fator zero. Logo devemos ter
Passo 5
Resolver a equação algébrica
. Isso fatoriza como
. Portanto as soluções são
Isso significa que
e
são soluções da equação dada (cada uma satisfaz a equação quando substituída).