Determine os valores de ® para os quais as equações a seguir têm a forma (y=e^{r x}) :
(a) $(y^{\prime \prime}-4 y=0);

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores de r para os quais a função y=\mathrm{e}^{r x} é solução da equação diferencial
y''-4y=0.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é \,y''-4y=0.
  • A função candidata é y=\mathrm{e}^{r x}.
  • O incógnita a encontrar é o número real (ou complexa) r tal que, ao substituir y=\mathrm{e}^{r x} na equação, a igualdade seja satisfeita para todo x.

Passo 2

Calcular as derivadas de y=\mathrm{e}^{r x}. Uma regra básica que vamos usar: se u(x) é função de x, então \dfrac{d}{dx}\mathrm{e}^{u(x)}=\mathrm{e}^{u(x)}\cdot u'(x) (regra da cadeia). Aqui u(x)=r x, então u'(x)=r. Portanto,
y'=\frac{d}{dx}\mathrm{e}^{r x}=r\,\mathrm{e}^{r x}.
Derivando outra vez (aplicar a mesma regra a y'):
y''=\frac{d}{dx}\big(r\,\mathrm{e}^{r x}\big)=r\cdot r\,\mathrm{e}^{r x}=r^{2}\,\mathrm{e}^{r x}.

Passo 3

Substituir y e y'' na equação \,y''-4y=0. Usando os resultados do passo anterior:
r^{2}\,\mathrm{e}^{r x}-4\,\mathrm{e}^{r x}=0.
Fatorando \mathrm{e}^{r x} em evidência:
\mathrm{e}^{r x}\big(r^{2}-4\big)=0.

Passo 4

Argumento sobre a exponencial: para todo x real e qualquer r real (ou complexo com parte real finita), tem-se \mathrm{e}^{r x}\neq 0. Assim, a única maneira da produto ser zero é fazer o outro fator zero. Logo devemos ter
r^{2}-4=0.

Passo 5

Resolver a equação algébrica r^{2}-4=0. Isso fatoriza como (r-2)(r+2)=0. Portanto as soluções são
r=2\qquad\text{ou}\qquad r=-2.
Isso significa que \mathrm{e}^{2x} e \mathrm{e}^{-2x} são soluções da equação dada (cada uma satisfaz a equação quando substituída).

Resposta

r=2
r=-2

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