O, 2 Questão
: Calcule
em que
e
é a parte do cilindro
entre os planos
e
, orientada de forma que o vetor normal aponta para o “exterior” do cilindro.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral de fluxo
onde a campo vetorial e a superfície são dados por:
-
. -
é a parte lateral do cilindro entre os planos e . - A orientação é tal que o vetor normal aponta para o “exterior” do cilindro (ou seja, para fora da superfície cilíndrica).
Resumo das informações relevantes (peguei esses dados do enunciado):
- O raio do cilindro é
, pois . - Para cada ponto da geratriz lateral, a coordenada
varia entre e , sendo o limite superior dependente de . - A quantidade pedida é o fluxo do campo através dessa superfície lateral com orientação externa.
Passo 2
Escolha do método: vou parametrizar diretamente a superfície lateral por coordenadas angulares e a coordenada
. Razão: a superfície é um cilindro de raio fixo, então usar
(ângulo polar) e
é natural e simples; outra possibilidade seria fechar com as tampas e usar um teorema (fechamento + divergência), mas isso complicaria mais do que parametrizar diretamente. Vou portanto fazer uma parametrização
com
e
variando conforme os planos dados.
Passo 3
Parametrização da superfície e cálculo do elemento de área orientado.
Defino
. Parametrizo
por
com os parâmetros variando em
porque o limite superior em
é
e
na parametrização (peguei esses limites do enunciado).
Agora calculo os vetores tangentes:
O produto vetorial que dá o elemento de área orientado é
Observação: esse vetor iguala
porque
e
na parametrização. Esse vetor aponta radialmente para fora (componente
), então corresponde à orientação “externa” pedida. O módulo desse vetor é
, mas vou usar a forma vetorial direta na integral.
Portanto o elemento vetorial de área (orientado para fora) é
onde, quando for usar, lembramos que
e
(peguei essa relação da parametrização).
Passo 4
Expressar o integrando
em termos dos parâmetros.
Primeiro escrevo
avaliada na superfície: nas coordenadas da parametrização
, mas para manipular o produto basta usar componentes simbólicas:
O produto escalar com
é
Faço as contas no produto:
Portanto o integrando simplifica surpreendentemente para
. (Aqui usei diretamente as componentes e simplifiquei os termos
e
.)
Passo 5
Montar a integral dupla em
e
usando a expressão do Passo 4.
A integral de fluxo fica
Agora substituo
dentro do integrando e integro primeiro em
(pois o integrando não depende de
, apenas os limites dependem de
):
onde, lembrando,
. Então a integral sobre
é
Passo 6
Calcular a integral em
explicitando
com
.
Substituo
:
Assim
Calculo termo a termo:
- O primeiro termo:
- O segundo termo: uso a identidade
para integrar facilmente:
Como
, resta
Portanto a integral total vale
Lembro que
, logo
. Substituindo:
Passo 7
Interpretação final rápida e incentivo: o cálculo ficou bem mais simples do que parecia porque muitos termos se cancelaram e a parametrização natural do cilindro facilitou bastante — por isso, quando vir superfícies de cilindro, pense em usar coordenadas angulares. Você mandou bem vindo até aqui; dá pra repetir esse tipo de integral em prova sem estresse: parametriza, calcula o produto vetorial, simplifica o integrando e integra por partes. Vai dar certo!