O, 2 Questão 2(2,5) : Calcule \iint_{S} \vec{F} \cdot d S em que
\vec{F}(x, y, z)=(2+3 y,-3 x, x+y+z)
e S é a parte do cilindro x^{2}+y^{2}=2 entre os planos z=-1 e z=1+x, orientada de forma que o vetor normal aponta para o “exterior” do cilindro.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral de fluxo
\iint_{S}\vec{F}\cdot dS
onde a campo vetorial e a superfície são dados por:
  • \vec{F}(x,y,z)=(2+3y,\,-3x,\,x+y+z).
  • S é a parte lateral do cilindro \,x^{2}+y^{2}=2\, entre os planos z=-1 e z=1+x.
  • A orientação é tal que o vetor normal aponta para o “exterior” do cilindro (ou seja, para fora da superfície cilíndrica).
Resumo das informações relevantes (peguei esses dados do enunciado):
  • O raio do cilindro é \sqrt{2}, pois x^{2}+y^{2}=2.
  • Para cada ponto da geratriz lateral, a coordenada z varia entre z=-1 e z=1+x, sendo o limite superior dependente de x.
  • A quantidade pedida é o fluxo do campo através dessa superfície lateral com orientação externa.

Passo 2

Escolha do método: vou parametrizar diretamente a superfície lateral por coordenadas angulares e a coordenada z. Razão: a superfície é um cilindro de raio fixo, então usar \theta (ângulo polar) e z é natural e simples; outra possibilidade seria fechar com as tampas e usar um teorema (fechamento + divergência), mas isso complicaria mais do que parametrizar diretamente. Vou portanto fazer uma parametrização \mathbf{r}(\theta,z) com \theta\in[0,2\pi) e z variando conforme os planos dados.

Passo 3

Parametrização da superfície e cálculo do elemento de área orientado.
Defino R=\sqrt{2}. Parametrizo S por
\mathbf{r}(\theta,z)=\big(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;z\big),
com os parâmetros variando em
0\le \theta\le 2\pi,\qquad -1\le z\le 1+R\cos\theta,
porque o limite superior em z é 1+x e x=R\cos\theta na parametrização (peguei esses limites do enunciado).
Agora calculo os vetores tangentes:
\mathbf{r}_\theta(\theta,z)=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}=(-R\sin\theta,\;R\cos\theta,\;0),
\mathbf{r}_z(\theta,z)=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}=(0,\;0,\;1).
O produto vetorial que dá o elemento de área orientado é
\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z=(R\cos\theta,\;R\sin\theta,\;0).
Observação: esse vetor iguala (x,y,0) porque x=R\cos\theta e y=R\sin\theta na parametrização. Esse vetor aponta radialmente para fora (componente x,y), então corresponde à orientação “externa” pedida. O módulo desse vetor é |\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z|=R, mas vou usar a forma vetorial direta na integral.
Portanto o elemento vetorial de área (orientado para fora) é
d\mathbf{S}=(x,y,0)\,d\theta\,dz,
onde, quando for usar, lembramos que x=R\cos\theta e y=R\sin\theta (peguei essa relação da parametrização).

Passo 4

Expressar o integrando \vec{F}\cdot d\mathbf{S} em termos dos parâmetros.
Primeiro escrevo \vec{F} avaliada na superfície: nas coordenadas da parametrização x=R\cos\theta,\;y=R\sin\theta, mas para manipular o produto basta usar componentes simbólicas:
\vec{F}=(2+3y,\,-3x,\;x+y+z).
O produto escalar com \mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z=(x,y,0) é
\vec{F}\cdot(\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z)=(2+3y)\,x+(-3x)\,y+(x+y+z)\cdot 0.
Faço as contas no produto:
(2+3y)x-3xy = 2x + 3xy -3xy = 2x.
Portanto o integrando simplifica surpreendentemente para 2x. (Aqui usei diretamente as componentes e simplifiquei os termos 3xy e -3xy.)

Passo 5

Montar a integral dupla em \theta e z usando a expressão do Passo 4.
A integral de fluxo fica
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\mathbf{S} =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=-1}^{\,1+R\cos\theta} 2x \,dz\,d\theta.
Agora substituo x=R\cos\theta dentro do integrando e integro primeiro em z (pois o integrando não depende de z, apenas os limites dependem de \theta):
\int_{z=-1}^{\,1+R\cos\theta} 2x\,dz = 2x\big[ z\big]_{z=-1}^{z=1+R\cos\theta} =2x\big((1+R\cos\theta)-(-1)\big)=2x(2+x),
onde, lembrando, x=R\cos\theta. Então a integral sobre \theta é
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\mathbf{S} =\int_{0}^{2\pi} 2x(2+x)\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral em \theta explicitando x=R\cos\theta com R=\sqrt{2}.
Substituo x=R\cos\theta:
2x(2+x)=2(R\cos\theta)\big(2+R\cos\theta\big)=4R\cos\theta+2R^{2}\cos^{2}\theta.
Assim
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\mathbf{S} =\int_{0}^{2\pi}\!\big(4R\cos\theta+2R^{2}\cos^{2}\theta\big)\,d\theta.
Calculo termo a termo:
  • O primeiro termo: \displaystyle \int_{0}^{2\pi}4R\cos\theta\,d\theta = 4R\big[\sin\theta\big]_{0}^{2\pi}=4R(0-0)=0.
  • O segundo termo: uso a identidade \displaystyle \cos^{2}\theta=\tfrac{1+\cos(2\theta)}{2} para integrar facilmente:
\int_{0}^{2\pi}2R^{2}\cos^{2}\theta\,d\theta =2R^{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =R^{2}\int_{0}^{2\pi}\big(1+\cos(2\theta)\big)\,d\theta.
Como \int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta=0, resta
R^{2}\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta = R^{2}\cdot 2\pi.
Portanto a integral total vale
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\mathbf{S} = R^{2}\cdot 2\pi.
Lembro que R=\sqrt{2}, logo R^{2}=2. Substituindo:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\mathbf{S} = 2\cdot 2\pi = 4\pi.

Passo 7

Interpretação final rápida e incentivo: o cálculo ficou bem mais simples do que parecia porque muitos termos se cancelaram e a parametrização natural do cilindro facilitou bastante — por isso, quando vir superfícies de cilindro, pense em usar coordenadas angulares. Você mandou bem vindo até aqui; dá pra repetir esse tipo de integral em prova sem estresse: parametriza, calcula o produto vetorial, simplifica o integrando e integra por partes. Vai dar certo!

Resposta

4\pi

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