Questão
: Utilize o Teorema de Stokes para calcular trabalho realizado pelo campo
para mover uma partícula através da curva dada pela interseção do paraboloide elíptico
com o cilindro circular
, orientado no sentido antihorário quando visto de cima.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o trabalho (integral de linha) realizado pelo campo
ao longo da curva que é a interseção do paraboloide
com o cilindro
. A curva está orientada no sentido antihorário quando vista de cima.
Informações fornecidas e pontos importantes extraídos do enunciado:
- A curva
é a interseção de e . - Da equação do cilindro segue que na curva
e, portanto, sobre temos . Logo, é o círculo de raio no plano . - O sentido é antihorário visto de cima (ou seja, visto no sentido do eixo positivo
).
O que é pedido: calcular
com a orientação dada.
Passo 2
O enunciado exige usar o Teorema de Stokes. Vamos relembrar a formulação que precisamos:
- Teorema de Stokes (forma usada aqui): Se
é uma superfície orientada com bordo e se é a unidade normal escolhida para , então
- Orientação: a orientação do contorno
deve ser compatível com a normal segundo a regra da mão direita. O problema diz que é orientada antihorário visto de cima; isso corresponde à escolha da normal apontando para cima, , para uma superfície que fique “abaixo” de quando vista de cima (ou seja, a normal positiva em produz contorno anticlockwise visto de cima).
Vamos aplicar o teorema: em vez de calcular a integral de linha diretamente, calculamos o rotacional
e fazemos a integral de superfície sobre uma superfície
qualquer com bordo
. Escolheremos uma superfície simples cujo bordo seja
.
Passo 3
Calcular o rotacional
. Escrevendo
com
o rotacional é dado por
Calculemos componente a componente:
-
porque é tratado como independente de nas derivadas parciais enquanto escrevemos componentes. -
.
Portanto a primeira componente é. -
. -
.
Portanto a segunda componente é. -
-
Portanto a terceira componente é
Assim
Observação didática curta: o rotacional mede a “componente de rotação” local do campo; aqui só aparece componente na direção
, o que facilita muito a integral.
Passo 4
Escolha da superfície
: podemos tomar
como o disco plano situado no plano
com raio
(o disco cujo bordo é exatamente a curva
). Essa escolha é conveniente porque é plana e a unidade normal é constante.
- Unidade normal escolhida (para ser compatível com a orientação anticlockwise vista de cima):
- Para uma superfície plana horizontal,
é simplesmente a área elementar do plano: .
Garantimos que a orientação está correta: com
a regra da mão direita dá ao bordo a orientação antihorária vista de cima, exatamente a orientação do enunciado.
Passo 5
Aplicando o Teorema de Stokes:
Como
e
, temos
Portanto precisamos calcular a integral sobre o disco de raio
(no plano
):
onde
.
Passo 6
Fazer a integral em coordenadas polares. Em polares
, temos
e
. Os limites são
e
. A integral torna-se
Calculemos a integral em
:
Agora a integral em
:
Passo 7
Resultado e interpretação final: pela aplicação do Teorema de Stokes com a superfície disco no plano
compatível com a orientação, obtemos