Questão 3(2,5) : Utilize o Teorema de Stokes para calcular trabalho realizado pelo campo
\vec{F}(x, y ; z)=\left(x^{3}+x^{2} y, x-x y^{2}, z^{2}\right)
para mover uma partícula através da curva dada pela interseção do paraboloide elíptico z=x^{2}+y^{2} com o cilindro circular x^{2}+y^{2}=4, orientado no sentido antihorário quando visto de cima.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho (integral de linha) realizado pelo campo
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(x^{3}+x^{2}y,\;x-xy^{2},\;z^{2}\bigr)
ao longo da curva que é a interseção do paraboloide z=x^{2}+y^{2} com o cilindro x^{2}+y^{2}=4. A curva está orientada no sentido antihorário quando vista de cima.
Informações fornecidas e pontos importantes extraídos do enunciado:
  • A curva C é a interseção de z=x^{2}+y^{2} e x^{2}+y^{2}=4.
  • Da equação do cilindro segue que na curva x^{2}+y^{2}=4 e, portanto, sobre C temos z=4. Logo, C é o círculo de raio 2 no plano z=4.
  • O sentido é antihorário visto de cima (ou seja, visto no sentido do eixo positivo z).
O que é pedido: calcular \displaystyle\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} com a orientação dada.

Passo 2

O enunciado exige usar o Teorema de Stokes. Vamos relembrar a formulação que precisamos:
  • Teorema de Stokes (forma usada aqui): Se S é uma superfície orientada com bordo \partial S=C e se \vec{n} é a unidade normal escolhida para S, então
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS.
  • Orientação: a orientação do contorno C deve ser compatível com a normal \vec{n} segundo a regra da mão direita. O problema diz que C é orientada antihorário visto de cima; isso corresponde à escolha da normal apontando para cima, \vec{n}=(0,0,1), para uma superfície que fique “abaixo” de C quando vista de cima (ou seja, a normal positiva em +z produz contorno anticlockwise visto de cima).
Vamos aplicar o teorema: em vez de calcular a integral de linha diretamente, calculamos o rotacional \nabla\times\vec{F} e fazemos a integral de superfície sobre uma superfície S qualquer com bordo C. Escolheremos uma superfície simples cujo bordo seja C.

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Escrevendo \vec{F}=(P,Q,R) com
P=x^{3}+x^{2}y,\qquad Q=x-xy^{2},\qquad R=z^{2},
o rotacional é dado por
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Calculemos componente a componente:
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(z^{2})=0 porque z é tratado como independente de y nas derivadas parciais enquanto escrevemos componentes.
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x-xy^{2})=0.
    Portanto a primeira componente é 0-0=0.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x^{3}+x^{2}y)=0.
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(z^{2})=0.
    Portanto a segunda componente é 0-0=0.
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x-xy^{2})=1-y^{2}.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{3}+x^{2}y)=x^{2}.
    Portanto a terceira componente é (1-y^{2})-x^{2}=1-(x^{2}+y^{2}).
Assim
\nabla\times\vec{F}=\bigl(0,\;0,\;1-(x^{2}+y^{2})\bigr).
Observação didática curta: o rotacional mede a “componente de rotação” local do campo; aqui só aparece componente na direção z, o que facilita muito a integral.

Passo 4

Escolha da superfície S: podemos tomar S como o disco plano situado no plano z=4 com raio 2 (o disco cujo bordo é exatamente a curva C). Essa escolha é conveniente porque é plana e a unidade normal é constante.
  • Unidade normal escolhida (para ser compatível com a orientação anticlockwise vista de cima):
\vec{n}=(0,0,1).
  • Para uma superfície plana horizontal, dS é simplesmente a área elementar do plano: dS=dA=dx\,dy.
Garantimos que a orientação está correta: com \vec{n}=(0,0,1) a regra da mão direita dá ao bordo a orientação antihorária vista de cima, exatamente a orientação do enunciado.

Passo 5

Aplicando o Teorema de Stokes:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS.
Como \nabla\times\vec{F}=(0,0,1-(x^{2}+y^{2})) e \vec{n}=(0,0,1), temos
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}=1-(x^{2}+y^{2}).
Portanto precisamos calcular a integral sobre o disco de raio 2 (no plano z=4):
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{D_{2}}\bigl(1-(x^{2}+y^{2})\bigr)\,dA,
onde D_{2}=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.

Passo 6

Fazer a integral em coordenadas polares. Em polares x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta, temos x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta. Os limites são r\in[0,2] e \theta\in[0,2\pi]. A integral torna-se
\iint_{D_{2}}\bigl(1-r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2}\bigl(r-r^{3}\bigr)\,dr\,d\theta.
Calculemos a integral em r:
\int_{0}^{2}\bigl(r-r^{3}\bigr)\,dr =\left[\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2} =\left(\frac{4}{2}-\frac{16}{4}\right)=\bigl(2-4\bigr)=-2.
Agora a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi}(-2)\,d\theta = -2\cdot(2\pi) = -4\pi.

Passo 7

Resultado e interpretação final: pela aplicação do Teorema de Stokes com a superfície disco no plano z=4 compatível com a orientação, obtemos
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=-4\pi.

Resposta

-4\pi

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