Determine os valores extremos de f(x, y)=3 x-y sujeita à restrição x^{2}+y^{2}=10.
  1. Monte o sistema de Lagrange \nabla f=\lambda \nabla g.

Passo 1

O enunciado dá a função objetivo e a restrição e pede que se monte o sistema de Lagrange \nabla f=\lambda \nabla g. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Função objetivo: f(x,y)=3x-y.
  • Restrição (curva onde procuramos extremos): x^{2}+y^{2}=10.
  • O que pedir: montar o sistema de equações de Lagrange \nabla f=\lambda \nabla g (isto é, escrever explicitamente as equações a serem resolvidas).

Passo 2

Primeiro, transformamos a restrição numa função g(x,y) igual a zero, como se costuma para Lagrange. Definimos
g(x,y)=x^{2}+y^{2}-10,
de modo que a restrição é g(x,y)=0.

Passo 3

Agora vamos calcular os gradientes \nabla f e \nabla g. Lembre-se: o gradiente de uma função h(x,y) é o vetor das derivadas parciais, isto é \nabla h=(\partial h/\partial x,\;\partial h/\partial y).
  • Para f(x,y)=3x-y temos
\frac{\partial f}{\partial x}=3,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-1,
portanto
\nabla f=(3,\,-1).
  • Para g(x,y)=x^{2}+y^{2}-10 temos
\frac{\partial g}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=2y,
portanto
\nabla g=(2x,\;2y).

Passo 4

A condição de Lagrange pede que
\nabla f=\lambda \nabla g,
ou seja, em componentes:
3=\lambda\cdot 2x, \qquad -1=\lambda\cdot 2y.
Além disso, devemos respeitar a restrição original
x^{2}+y^{2}=10.
Portanto o sistema de Lagrange é formado por essas três equações.

Passo 5

Vamos escrever o sistema de forma clara (é o que foi pedido):
\begin{cases} 3=2\lambda x,\\[4pt] -1=2\lambda y,\\[4pt] x^{2}+y^{2}=10. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema: das duas primeiras equações isolamos x e y em termos de \lambda:
x=\dfrac{3}{2\lambda},\qquad y=\dfrac{-1}{2\lambda}.

Passo 7

Substituímos essas expressões na restrição x^{2}+y^{2}=10:
\left(\dfrac{3}{2\lambda}\right)^{2}+\left(\dfrac{-1}{2\lambda}\right)^{2}=10.
Calculemos o lado esquerdo passo a passo:
\dfrac{9}{4\lambda^{2}}+\dfrac{1}{4\lambda^{2}}=\dfrac{10}{4\lambda^{2}}=\dfrac{10}{4\lambda^{2}}.
Logo
\dfrac{10}{4\lambda^{2}}=10.

Passo 8

Simplificando a equação para \lambda:
\dfrac{10}{4\lambda^{2}}=10 \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{4\lambda^{2}}=1 \quad\Longrightarrow\quad 4\lambda^{2}=1.
Assim
\lambda^{2}=\dfrac{1}{4}\quad\Longrightarrow\quad \lambda=\pm\dfrac{1}{2}.

Passo 9

Agora achamos os pontos (x,y) correspondentes a cada \lambda.
Para \lambda=\dfrac{1}{2}:
x=\dfrac{3}{2\cdot (1/2)}=\dfrac{3}{1}=3,\qquad y=\dfrac{-1}{2\cdot (1/2)}=\dfrac{-1}{1}=-1.
Para \lambda=-\dfrac{1}{2}:
x=\dfrac{3}{2\cdot (-1/2)}=\dfrac{3}{-1}=-3,\qquad y=\dfrac{-1}{2\cdot (-1/2)}=\dfrac{-1}{-1}=1.
Verificação rápida: (3)^{2}+(-1)^{2}=9+1=10 e (-3)^{2}+1^{2}=9+1=10, então ambos satisfazem a restrição.

Passo 10

Avaliação da função objetivo nos pontos críticos para decidir máximo e mínimo:
f(3,-1)=3\cdot 3-(-1)=9+1=10,
f(-3,1)=3\cdot(-3)-1=-9-1=-10.
Portanto, sobre a circunferência x^{2}+y^{2}=10 a função atinge valor máximo 10 em (3,-1) e valor mínimo -10 em (-3,1).

Resposta

Máximo: f(3,-1)=10 em (3,-1)
Mínimo: f(-3,1)=-10 em (-3,1)

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