Resoluções das seguintes EDO, utilize a transformada de Laplace:
z^{\prime}-z=e^{-t} ; z(0)=\mathrm{A}, \mathrm{z}^{\prime}(0)=\mathrm{B}
\mathrm{t}^{\prime \prime}+6 \mathrm{t}^{\prime}+2 \mathrm{t} ; \mathrm{t}(0)=\mathrm{A}, \mathrm{t}^{\prime}=\mathrm{B}
Em que, A é o número de letra do nome completo do aluno e B é o número de letra do último sobrenome do aluno

Passo 1

Enunciado e dados (lista clara do que foi pedido e o que foi dado):
  • Resolver, usando transformada de Laplace, as duas equações diferenciais dadas com as condições iniciais fornecidas.
  • Equação (1): z^{\prime}-z=e^{-t} com z(0)=\mathrm{A} e z^{\prime}(0)=\mathrm{B}.
  • Equação (2): \mathrm{t}^{\prime\prime}+6\,\mathrm{t}^{\prime}+2\,\mathrm{t}=0 com \mathrm{t}(0)=\mathrm{A} e \mathrm{t}^{\prime}(0)=\mathrm{B}.
  • Observação fornecida no enunciado: \mathrm{A} é o número de letras do nome completo do aluno e \mathrm{B} é o número de letras do último sobrenome; aqui trataremos \mathrm{A} e \mathrm{B} como constantes conhecidas (não pedirei valores).
  • O enunciado pede as soluções z(t) e \mathrm{t}(t) em função de t, usando a transformada de Laplace.

Passo 2

Breve revisão da transformada de Laplace e das fórmulas que usaremos (explicação didática):
  • Definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
Isto transforma equações diferenciais em equações algébricas em s.
  • Transformada de derivadas (fórmulas essenciais; explico o que cada símbolo significa):
    • Se f(t) tem transformada F(s) e f(0)=f_0, então
    \mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f_0.Aqui s é a variável da transformada e f_0 é o valor inicial f(0).
    • Para a segunda derivada, se f'(0)=f_1,
    \mathcal{L}\{f''(t)\}=s^2F(s)-s f_0 - f_1.
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f + b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Transformada de uma exponencial simples:
\mathcal{L}\{e^{-t}\}=\frac{1}{s+1}.
  • Inversão: frações racionais em s normalmente são invertidas usando tabelas padrão (por ex. \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}) e decomposição em frações parciais quando necessário.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace à equação (1): z'(t)-z(t)=e^{-t}.
  • Seja Z(s)=\mathcal{L}\{z(t)\}. Usando as fórmulas para derivadas e a transformada de e^{-t}:
\mathcal{L}\{z'\}=sZ(s)-z(0)=sZ(s)-\mathrm{A}, \qquad \mathcal{L}\{z\}=Z(s), \qquad \mathcal{L}\{e^{-t}\}=\frac{1}{s+1}.
  • Aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} na equação:
sZ(s)-\mathrm{A}-Z(s)=\frac{1}{s+1}.
  • Reunindo termos em Z(s):
(s-1)Z(s)-\mathrm{A}=\frac{1}{s+1}.
  • Isolando Z(s):
Z(s)=\frac{\mathrm{A}}{s-1}+\frac{1}{(s+1)(s-1)}.

Passo 4

Resolver a fração racional de Z(s) por frações parciais e inverter a transformada (continuação da resolução da (1)):
  • Decompomos a segunda parcela:
\frac{1}{(s-1)(s+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s+1}\right).
  • Então
Z(s)=\frac{\mathrm{A}}{s-1}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s+1}\right) =\frac{\mathrm{A}+\tfrac{1}{2}}{s-1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+1}.
  • Invertendo termo a termo, usando \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}:
z(t)=\left(\mathrm{A}+\tfrac{1}{2}\right)e^{t}-\tfrac{1}{2}e^{-t}.

Passo 5

Comentário importante sobre a condição z'(0)=\mathrm{B} (compatibilidade de condições):
  • Para a solução encontrada, calculemos z'(0) para verificar compatibilidade:
z'(t)=\left(\mathrm{A}+\tfrac{1}{2}\right)e^{t}+\tfrac{1}{2}e^{-t},
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z'(0)=\mathrm{A}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=\mathrm{A}+1.
  • Conclusão: a condição extra z'(0)=\mathrm{B} impõe a relação de compatibilidade
\mathrm{B}=\mathrm{A}+1.
Se \mathrm{B} não satisfizer essa igualdade, então as duas condições iniciais dadas para a equação de primeira ordem são inconsistentes (uma EDO de primeira ordem precisa de uma única condição inicial). Se \mathrm{B}=\mathrm{A}+1, então a condição adicional é satisfeita pela solução acima.

Passo 6

Agora aplicamos a transformada de Laplace à equação (2): \mathrm{t}''+6\mathrm{t}'+2\mathrm{t}=0.
  • Denotemos T(s)=\mathcal{L}\{\mathrm{t}(t)\}. Usando as fórmulas:
\mathcal{L}\{\mathrm{t}''\}=s^2T(s)-s\mathrm{t}(0)-\mathrm{t}'(0)=s^2T(s)-s\mathrm{A}-\mathrm{B},
\mathcal{L}\{\mathrm{t}'\}=sT(s)-\mathrm{A}, \qquad \mathcal{L}\{\mathrm{t}\}=T(s).
  • Aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} na equação homogênea:
\big(s^2T(s)-s\mathrm{A}-\mathrm{B}\big)+6\big(sT(s)-\mathrm{A}\big)+2T(s)=0.
  • Agrupando termos em T(s) e os termos que contêm \mathrm{A},\mathrm{B}:
\big(s^2+6s+2\big)T(s)-s\mathrm{A}-\mathrm{B}-6\mathrm{A}=0.
  • Isolando T(s):
T(s)=\frac{s\mathrm{A}+\mathrm{B}+6\mathrm{A}}{s^2+6s+2} =\frac{\mathrm{A}(s+6)+\mathrm{B}}{s^2+6s+2}.

Passo 7

Fatoração do denominador e decomposição em termos que invertam facilmente:
  • O polinômio do denominador tem raízes (os autovalores do sistema)
s^2+6s+2=(s-r_1)(s-r_2),
onde
r_{1,2}=-3\pm\sqrt{7}.
  • Escrevemos então T(s) na forma de frações simples:
T(s)=\frac{C_1}{s-r_1}+\frac{C_2}{s-r_2}.
  • Os coeficientes C_1,C_2 podem ser obtidos avaliando a expressão:
C_1=\frac{(\mathrm{A}(s+6)+\mathrm{B})\big|_{s=r_1}}{r_1-r_2}, \qquad C_2=\frac{(\mathrm{A}(s+6)+\mathrm{B})\big|_{s=r_2}}{r_2-r_1}.
  • Calculando r_1-r_2=2\sqrt{7} e avaliando o numerador nos pontos:
\mathrm{A}(r_1+6)+\mathrm{B}=\mathrm{A}(3+\sqrt{7})+\mathrm{B}, \qquad \mathrm{A}(r_2+6)+\mathrm{B}=\mathrm{A}(3-\sqrt{7})+\mathrm{B}.
  • Assim
C_1=\frac{\mathrm{A}(3+\sqrt{7})+\mathrm{B}}{2\sqrt{7}}, \qquad C_2=\frac{\mathrm{A}(3-\sqrt{7})+\mathrm{B}}{-2\sqrt{7}} =-\frac{\mathrm{A}(3-\sqrt{7})+\mathrm{B}}{2\sqrt{7}}.

Passo 8

Inversão da transformada para obter \mathrm{t}(t):
  • Usando \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-r}\}=e^{rt}, obtemos
\mathrm{t}(t)=C_1 e^{r_1 t}+C_2 e^{r_2 t}.
  • Substituindo C_1,C_2,r_1,r_2 explicitamente:
\mathrm{t}(t)=\frac{\mathrm{A}(3+\sqrt{7})+\mathrm{B}}{2\sqrt{7}}\,e^{(-3+\sqrt{7})t} -\frac{\mathrm{A}(3-\sqrt{7})+\mathrm{B}}{2\sqrt{7}}\,e^{(-3-\sqrt{7})t}.
  • Esta é a solução da equação homogênea de segunda ordem com as condições iniciais dadas.

Resposta

z(t)=\left(\mathrm{A}+\tfrac{1}{2}\right)e^{t}-\tfrac{1}{2}e^{-t}\n
\mathrm{t}(t)=\dfrac{\mathrm{A}(3+\sqrt{7})+\mathrm{B}}{2\sqrt{7}}\,e^{(-3+\sqrt{7})t}-\dfrac{\mathrm{A}(3-\sqrt{7})+\mathrm{B}}{2\sqrt{7}}\,e^{(-3-\sqrt{7})t}

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