Em que, A é o número de letra do nome completo do aluno e B é o número de letra do último sobrenome do aluno
Passo 1
Enunciado e dados (lista clara do que foi pedido e o que foi dado):
Resolver, usando transformada de Laplace, as duas equações diferenciais dadas com as condições iniciais fornecidas.
Equação (1): z^{\prime}-z=e^{-t} com z(0)=\mathrm{A} e z^{\prime}(0)=\mathrm{B}.
Equação (2): \mathrm{t}^{\prime\prime}+6\,\mathrm{t}^{\prime}+2\,\mathrm{t}=0 com \mathrm{t}(0)=\mathrm{A} e \mathrm{t}^{\prime}(0)=\mathrm{B}.
Observação fornecida no enunciado: \mathrm{A} é o número de letras do nome completo do aluno e \mathrm{B} é o número de letras do último sobrenome; aqui trataremos \mathrm{A} e \mathrm{B} como constantes conhecidas (não pedirei valores).
O enunciado pede as soluções z(t) e \mathrm{t}(t) em função de t, usando a transformada de Laplace.
Passo 2
Breve revisão da transformada de Laplace e das fórmulas que usaremos (explicação didática):
Definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
Isto transforma equações diferenciais em equações algébricas em s.
Transformada de derivadas (fórmulas essenciais; explico o que cada símbolo significa):
Se f(t) tem transformada F(s) e f(0)=f_0, então
\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f_0.Aqui s é a variável da transformada e f_0 é o valor inicial f(0).
Para a segunda derivada, se f'(0)=f_1,
\mathcal{L}\{f''(t)\}=s^2F(s)-s f_0 - f_1.
Linearidade: \mathcal{L}\{a f + b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
Transformada de uma exponencial simples:
\mathcal{L}\{e^{-t}\}=\frac{1}{s+1}.
Inversão: frações racionais em s normalmente são invertidas usando tabelas padrão (por ex. \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}) e decomposição em frações parciais quando necessário.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace à equação (1): z'(t)-z(t)=e^{-t}.
Seja Z(s)=\mathcal{L}\{z(t)\}. Usando as fórmulas para derivadas e a transformada de e^{-t}:
Conclusão: a condição extra z'(0)=\mathrm{B} impõe a relação de compatibilidade
\mathrm{B}=\mathrm{A}+1.
Se \mathrm{B} não satisfizer essa igualdade, então as duas condições iniciais dadas para a equação de primeira ordem são inconsistentes (uma EDO de primeira ordem precisa de uma única condição inicial). Se \mathrm{B}=\mathrm{A}+1, então a condição adicional é satisfeita pela solução acima.
Passo 6
Agora aplicamos a transformada de Laplace à equação (2): \mathrm{t}''+6\mathrm{t}'+2\mathrm{t}=0.
Denotemos T(s)=\mathcal{L}\{\mathrm{t}(t)\}. Usando as fórmulas: