Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a transformada inversa (ou seja, a função no tempo cujo Laplace dá a expressão em
) de três funções racionais em
. As três funções fornecidas são:
-
, -
, -
.
O que é pedido: calcular
de cada uma dessas funções, i.e., fornecer a função de
correspondente a cada expressão em
. Todas as constantes
e
são tratadas aqui como constantes multiplicativas (não dependem de
nem de
).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (explicados passo a passo):
- Definição (conceito útil): a transformada de Laplace de uma função
, para , é . A transformada inversa é a função tal que . - Linearidade: para constantes
e funções , vale e . Vou usar isso para tirar constantes fora da transformada inversa e somar resultados parciais. - Fórmula padrão (muito usada): para inteiro
e constante , vale
Aqui
é a variável de tempo,
é o fatorial de
,
é o deslocamento exponencial (sinal trocado entre tempo e
) e
é a variável da transformada. Essa fórmula vem de
e do deslocamento
quando multiplicamos por
.
- Consequência prática: a inversa de
é . Isto é, invertendo a fórmula acima:
Vou usar exatamente essa consequência para os casos com potências de
.
Passo 3
Calcular
.
Aplicando a fórmula com
e
(pois
):
- Pela consequência prática, a inversa de
é . - Como
, obtemos
Passo 4
Calcular
.
Usando linearidade, o fator constante
sai fora da inversa:
Agora aplico a consequência prática com
e
(porque
):
Multiplicando pelo fator
:
Podemos escrever isso de forma simplificada:
Passo 5
Calcular
.
Primeiro faço uma manipulação algébrica simples para dividir a expressão em termos mais conhecidas:
Simplificando o primeiro termo:
Logo
Agora aplico as inversas conhecidas:
-
(caso , ). -
(caso , ).
Portanto, pela linearidade,
Passo 6
Verificação rápida (como “checar” na prova): usando a fórmula direta, os resultados já obtidos são consistentes porque retransformando por Laplace recupera as expressões originais:
-
. -
. -
.
Essas são checagens rápidas que você pode fazer mentalmente na prova para garantir que não houve erro de fator.