Calcule a transformada inversa das seguintes funções:
L^{-1}\left[\frac{1}{(s+1)^{2}}\right] \quad L^{-1}\left[\frac{2 a+b}{(s+1)^{3}}\right] \quad L^{-1}\left[\frac{s+1}{(s+2)^{2}}\right]

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a transformada inversa (ou seja, a função no tempo cujo Laplace dá a expressão em s) de três funções racionais em s. As três funções fornecidas são:
  • \displaystyle \frac{1}{(s+1)^{2}},
  • \displaystyle \frac{2a+b}{(s+1)^{3}},
  • \displaystyle \frac{s+1}{(s+2)^{2}}.
O que é pedido: calcular L^{-1} de cada uma dessas funções, i.e., fornecer a função de t correspondente a cada expressão em s. Todas as constantes a e b são tratadas aqui como constantes multiplicativas (não dependem de t nem de s).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicados passo a passo):
  • Definição (conceito útil): a transformada de Laplace de uma função f(t), para t\ge0, é \displaystyle L\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt. A transformada inversa L^{-1}\{F(s)\} é a função f(t) tal que L\{f(t)\}=F(s).
  • Linearidade: para constantes c e funções F(s), vale \displaystyle L^{-1}\{cF(s)\}=c\,L^{-1}\{F(s)\} e \displaystyle L^{-1}\{F_1(s)+F_2(s)\}=L^{-1}\{F_1(s)\}+L^{-1}\{F_2(s)\}. Vou usar isso para tirar constantes fora da transformada inversa e somar resultados parciais.
  • Fórmula padrão (muito usada): para inteiro n\ge0 e constante a, vale
L\{t^{n}e^{-at}\}(s)=\frac{n!}{(s+a)^{\,n+1}}.
Aqui t é a variável de tempo, n! é o fatorial de n, a é o deslocamento exponencial (sinal trocado entre tempo e s) e s é a variável da transformada. Essa fórmula vem de L\{t^{n}\}(s)=n!/s^{n+1} e do deslocamento s\mapsto s+a quando multiplicamos por e^{-at}.
  • Consequência prática: a inversa de \dfrac{1}{(s+a)^{n+1}} é \dfrac{t^{n}}{n!}e^{-at}. Isto é, invertendo a fórmula acima:
L^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+a)^{n+1}}\right\}(t)=\frac{t^{n}}{n!}e^{-at}.
Vou usar exatamente essa consequência para os casos com potências de (s+\text{constante}).

Passo 3

Calcular \displaystyle L^{-1}\!\left[\frac{1}{(s+1)^{2}}\right].
Aplicando a fórmula com a=1 e n=1 (pois (s+1)^{2}=(s+1)^{1+1}):
  • Pela consequência prática, a inversa de \dfrac{1}{(s+1)^{2}} é \dfrac{t^{1}}{1!}e^{-1\cdot t}.
  • Como 1!=1, obtemos
L^{-1}\!\left[\frac{1}{(s+1)^{2}}\right](t)=t\,e^{-t}.

Passo 4

Calcular \displaystyle L^{-1}\!\left[\frac{2a+b}{(s+1)^{3}}\right].
Usando linearidade, o fator constante (2a+b) sai fora da inversa:
L^{-1}\!\left[\frac{2a+b}{(s+1)^{3}}\right]=(2a+b)\,L^{-1}\!\left[\frac{1}{(s+1)^{3}}\right].
Agora aplico a consequência prática com a=1 e n=2 (porque (s+1)^{3}=(s+1)^{2+1}):
L^{-1}\!\left[\frac{1}{(s+1)^{3}}\right](t)=\frac{t^{2}}{2!}e^{-t}=\frac{t^{2}}{2}e^{-t}.
Multiplicando pelo fator (2a+b):
L^{-1}\!\left[\frac{2a+b}{(s+1)^{3}}\right](t)=(2a+b)\cdot\frac{t^{2}}{2}e^{-t}.
Podemos escrever isso de forma simplificada:
(2a+b)\cdot\frac{t^{2}}{2}e^{-t}=\left(a+\frac{b}{2}\right)t^{2}e^{-t}.

Passo 5

Calcular \displaystyle L^{-1}\!\left[\frac{s+1}{(s+2)^{2}}\right].
Primeiro faço uma manipulação algébrica simples para dividir a expressão em termos mais conhecidas:
\frac{s+1}{(s+2)^{2}}=\frac{(s+2)-1}{(s+2)^{2}}=\frac{s+2}{(s+2)^{2}}-\frac{1}{(s+2)^{2}}.
Simplificando o primeiro termo:
\frac{s+2}{(s+2)^{2}}=\frac{1}{s+2}.
Logo
\frac{s+1}{(s+2)^{2}}=\frac{1}{s+2}-\frac{1}{(s+2)^{2}}.
Agora aplico as inversas conhecidas:
  • \displaystyle L^{-1}\!\left[\frac{1}{s+2}\right](t)=e^{-2t} (caso n=0, a=2).
  • \displaystyle L^{-1}\!\left[\frac{1}{(s+2)^{2}}\right](t)=t\,e^{-2t} (caso n=1, a=2).
    Portanto, pela linearidade,
L^{-1}\!\left[\frac{s+1}{(s+2)^{2}}\right](t)=e^{-2t}-t\,e^{-2t}=(1-t)\,e^{-2t}.

Passo 6

Verificação rápida (como “checar” na prova): usando a fórmula direta, os resultados já obtidos são consistentes porque retransformando por Laplace recupera as expressões originais:
  • L\{t e^{-t}\}=\dfrac{1}{(s+1)^{2}}.
  • L\{\left(a+\tfrac{b}{2}\right)t^{2}e^{-t}\}=\left(a+\tfrac{b}{2}\right)\dfrac{2}{(s+1)^{3}}=\dfrac{2a+b}{(s+1)^{3}}.
  • L\{(1-t)e^{-2t}\}=\dfrac{1}{s+2}-\dfrac{1}{(s+2)^{2}}=\dfrac{s+1}{(s+2)^{2}}.
    Essas são checagens rápidas que você pode fazer mentalmente na prova para garantir que não houve erro de fator.

Resposta

L^{-1}\!\left[\dfrac{1}{(s+1)^{2}}\right](t)=t\,e^{-t}\n
L^{-1}\!\left[\dfrac{2a+b}{(s+1)^{3}}\right](t)=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)t^{2}e^{-t}\n
L^{-1}\!\left[\dfrac{s+1}{(s+2)^{2}}\right](t)=(1-t)\,e^{-2t}

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