Determine os valores de a e b para que a função abaixo seja contínua nos pontos de abscissa x=0 e x=2 :
sen^2 xx^2 & ; x<0 a x+b & ; 0 <= x <= 2 raizx+2-2x^2-3 x+2 & ; 2<x

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= sin^2 xx^2,& x<0,[1ex] ax+b,& 0<= x<= 2,[0.5ex] raizx+2-2x^2-3x+2,& x>2,
e pede a e b para que f seja contínua em x=0 e x=2.
Para isso vamos usar limites laterais e a definição de continuidade:
limxto c^-f(x)=f(c)=limxto c^+f(x).
]

Passo 2

Continuidade em x=0.
Pela definição,
f(0)=acdot0+b=b
deve igualar
limxto0^-sen^2 xx^2
Como é famoso que
limxto0sen^2 xx^2=1,
segue que
b=1

Passo 3

Continuidade em x=2.
Pela peça do meio,
f(2)=2a+b=2a+1
Deve valer também
limxto2^+raizx+2-2x^2-3x+2
Usamos a fatoração por conjugado:
raizx+2-2(x-1)(x-2) ;times; raizx+2+2raizx+2+2 = x+2-4(x-1)(x-2)l(raizx+2+2r) = x-2(x-1)(x-2)l(raizx+2+2r) = 1(x-1)l(raizx+2+2r)
Tomando xto2 vem
limxto2^+f(x) =1(2-1)(raiz4+2) =11cdot4 =14
Logo precisamos de
2a+1=14 Longrightarrow 2a=-34 Longrightarrow a=-38

Resposta

a=-38, b=1

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