Determine os valores de k, c, A ou B para que as funções definidas por partes sejam contínuas em todo o intervalo designado: f(x) = { raiz(x + 1), x > -1; x^2 + c, x <= -1 }

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema pede. Temos uma função definida por partes:
Queremos encontrar o valor de que faz com que essa função seja contínua em todo o intervalo, especialmente no ponto onde a definição muda, que é . Para isso, vamos precisar usar o conceito de continuidade de funções por partes.

Passo 2

Para garantir que a função seja contínua em , precisamos que o limite da função quando se aproxima de pela direita seja igual ao limite quando se aproxima de pela esquerda, e que ambos sejam iguais ao valor da função em .
Matematicamente, isso significa:

Passo 3

Vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando se aproxima de por valores maiores que :
Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela esquerda, quando se aproxima de por valores menores ou iguais a :
Substituindo :

Passo 5

Para que a função seja contínua em , os dois limites devem ser iguais e também iguais ao valor da função em . Já sabemos que:
Portanto, temos:

Resposta

Resolvendo a equação acima:
O valor de que torna a função contínua é .

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