Determine os valores de k para que o sistema abaixo
\left\{\begin{array}{r} x+2 y+k z=1 \\\\ 2 x+k y+8 z=3 \end{array}\right.
tenha:
(a) solução única;
(b) nenhuma solução;
(c) mais de uma solução.
Determine o conjunto solução no item (c) para algum valor de k.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de duas equações com três incógnitas (x,y,z)\): \[\begin{cases} x+2y+kz=1,\\\\ 2x+ky+8z=3.
O conteúdo é Álgebra Linear: posição de planos em (\mathbb{R}^3]. Vamos estudar quando os dois planos são paralelos (possível inconsistência) e quando se intersectam num conjunto de soluções de dimensão 1 (infinitas soluções).

Passo 2

Para que não haja infinitas soluções, precisaríamos de solução única, o que exigiria posto igual ao número de incógnitas (3), mas só temos 2 equações, logo o posto máximo é 2 e nunca atinge 3. Assim não existe k que dê solução única.

Passo 3

Para verificar inconsistência (nenhuma solução), procuramos k tal que os dois planos sejam paralelos mas não coincidentes. Os vetores normais são \,n_1=(1,2,k) e n_2=(2,k,8).
Eles são proporcionais se existir \lambda com
(2,k,8)=\lambda\,(1,2,k).
Das três coordenadas vem
2=\lambda,\quad k=2\lambda,\quad 8=\lambda k.
Substituindo \lambda=2 em k=2\lambda k=4, e 8=\lambda k confere: 8=2\cdot4. Para esses k, os planos são paralelos. Para serem coincidentes precisaríamos ter também 3=\lambda\cdot1, isto é 3=2, o que é falso. Logo em k=4 os planos são paralelos distintos e o sistema é inconsistente.

Passo 4

Se k\neq4, então n_1 e n_2 não são proporcionais, o posto da matriz dos coeficientes é 2, igual ao posto da matriz aumentada, e o número de incógnitas é 3. Portanto há um grau de liberdade e o sistema tem infinitas soluções (mais de uma solução).

Passo 5

Para k\neq4\) parametrizamos por \(z=t\). As duas primeiras equações formam um sistema \(2\times2\) em \(x,y\): \[\begin{cases} x+2y=1-kt,\\\\ 2x+ky=3-8t. \end{cases}
O determinante é (,D=k-4\neq0]. Aplicando a Regra de Cramer,
x=\frac{\begin{vmatrix}1-kt&2\\\ 3-8t&k\end{vmatrix}}{k-4} =\frac{k(1-kt)-2(3-8t)}{k-4} =\frac{k-6+t(16-k^2)}{k-4},
y=\frac{\begin{vmatrix}1&1-kt\\\ 2&3-8t\end{vmatrix}}{k-4} =\frac{1\cdot(3-8t)-2\cdot(1-kt)}{k-4} =\frac{1+t(2k-8)}{k-4},
z=t,\quad t\in\mathbb{R}.
Esse é o conjunto de todas as soluções quando k\neq4.

Resposta

(a) não existe valor de k com solução única.
(b) nenhuma solução se, e só se, k=4.
(c) mais de uma solução para todo k\neq4; o conjunto- solução pode ser escrito, com parâmetro t, como
x=\frac{k-6+t(16-k^2)}{\,k-4\,},\quad y=\frac{1+t(2k-8)}{\,k-4\,},\quad z=t,\quad t\in\mathbb{R}.

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