tenha:
(a) solução única;
(b) nenhuma solução;
(c) mais de uma solução.
Determine o conjunto solução no item (c) para algum valor de k.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear de duas equações com três incógnitas (x,y,z)\):
\[\begin{cases} x+2y+kz=1,\\\\ 2x+ky+8z=3.
O conteúdo é Álgebra Linear: posição de planos em (\mathbb{R}^3]. Vamos estudar quando os dois planos são paralelos (possível inconsistência) e quando se intersectam num conjunto de soluções de dimensão 1 (infinitas soluções).
Passo 2
Para que não haja infinitas soluções, precisaríamos de solução única, o que exigiria posto igual ao número de incógnitas (3), mas só temos 2 equações, logo o posto máximo é 2 e nunca atinge 3. Assim não existe k que dê solução única.
Passo 3
Para verificar inconsistência (nenhuma solução), procuramos k tal que os dois planos sejam paralelos mas não coincidentes. Os vetores normais são \,n_1=(1,2,k) e n_2=(2,k,8).
Eles são proporcionais se existir \lambda com
(2,k,8)=\lambda\,(1,2,k).
Das três coordenadas vem
2=\lambda,\quad k=2\lambda,\quad 8=\lambda k.
Substituindo \lambda=2 em k=2\lambda dá k=4, e 8=\lambda k confere: 8=2\cdot4. Para esses k, os planos são paralelos. Para serem coincidentes precisaríamos ter também 3=\lambda\cdot1, isto é 3=2, o que é falso. Logo em k=4 os planos são paralelos distintos e o sistema é inconsistente.
Passo 4
Se k\neq4, então n_1 e n_2 não são proporcionais, o posto da matriz dos coeficientes é 2, igual ao posto da matriz aumentada, e o número de incógnitas é 3. Portanto há um grau de liberdade e o sistema tem infinitas soluções (mais de uma solução).
Passo 5
Para k\neq4\) parametrizamos por \(z=t\). As duas primeiras equações formam um sistema \(2\times2\) em \(x,y\):
\[\begin{cases} x+2y=1-kt,\\\\ 2x+ky=3-8t. \end{cases}
O determinante é (,D=k-4\neq0]. Aplicando a Regra de Cramer, x=\frac{\begin{vmatrix}1-kt&2\\\ 3-8t&k\end{vmatrix}}{k-4} =\frac{k(1-kt)-2(3-8t)}{k-4} =\frac{k-6+t(16-k^2)}{k-4},
Esse é o conjunto de todas as soluções quando k\neq4.
Resposta
(a) não existe valor de k com solução única.
(b) nenhuma solução se, e só se, k=4.
(c) mais de uma solução para todo k\neq4; o conjunto- solução pode ser escrito, com parâmetro t, como