Determine os valores de k para que o sistema abaixo
\left\{\begin{array}{r} x+2 y+k z=1 \\\\ 2 x+k y+8 z=3 \end{array}\right.
tenha:
(a) solução única;
(b) nenhuma solução;
(c) mais de uma solução.
Determine o conjunto solução no item (c) para algum valor de k.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em três incógnitas x,y,z\) e parâmetro \(k\): \[\begin{cases} x + 2y + kz = 1,\\\\ 2x + ky + 8z = 3. \end{cases}
O conteúdo é álgebra linear: usamos o conceito de posto das matrizes (coeficientes e aumentada) para decidir se o sistema é possível e determinar o número de soluções. Como há 3 incógnitas e 2 equações, o posto máximo da matriz de coeficientes é 2, logo nunca podemos ter solução única (que requereria posto (=3]).

Passo 2

Para que o sistema não tenha solução, basta que as duas equações sejam proporcionais na parte dos coeficientes, mas não sejam proporcionais nos termos independentes. Represento as duas linhas de coeficientes por \mathbf{r}_1=(1,2,k) e \mathbf{r}_2=(2,k,8).
Se existisse \lambda tal que \mathbf{r}_2=\lambda\mathbf{r}_1, então
2=\lambda\cdot1,\quad k=\lambda\cdot2,\quad 8=\lambda\cdot k.
Da primeira equação vem \lambda=2. Substituindo em k=2\cdot2 e em 8=2\cdot k obtemos
k=4 \quad\text{e}\quad 8=2\cdot4\\ (\checkmark).
Então para k=4 as linhas de coeficientes são dependentes, o posto da matriz de coeficientes é 1, mas os termos independentes formam (1,3), que não satisfaz 3=2\cdot1. Logo o posto da matriz aumentada é 2, diferente do posto de coeficientes, e o sistema é impossível.

Passo 3

Concluímos que
(a) não existe valor de k que torne o sistema com solução única, pois temos sempre 3 incógnitas e no máximo 2 equações;
(b) para k=4 não há solução;
(c) para todo k\neq4 as duas linhas de coeficientes são independentes, o posto da matriz de coeficientes é 2 e coincide com o da aumentada, logo há infinitas soluções.

Passo 4

Para k\neq4\) parametrizamos a solução livremente. Tomemos \(z=t\). O sistema fica \[\begin{cases} x + 2y = 1 - kt,\\\\ 2x + ky = 3 - 8t. \end{cases}
Resolvendo para x,y\]: da primeira equação \(x = 1 - kt - 2y. Substituindo na segunda,
2(1 - kt - 2y) + k\,y = 3 - 8t \quad\Longrightarrow\quad -4y + k\,y = 1 -8t +2kt \quad\Longrightarrow\quad y\,(k-4) = 1 + 2(k-4)t.
Como k\neq4,
y = \frac{1 + 2(k-4)t}{k-4} = \frac{1}{k-4} + 2t.
Então
x = 1 - k\,t - 2\Bigl(\frac{1}{k-4} + 2t\Bigr) = \frac{k-6}{k-4} - (k+4)\,t.

Resposta

(a) não existe k.
(b) k=4.
(c) k\neq4. Para k\neq4, a família de soluções é
(x,y,z) =\Bigl(\tfrac{k-6}{k-4} - (k+4)t,\;\tfrac{1}{k-4}+2t,\;t\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

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