- Sendo
tal que
e
, então o valor numérico de
é:
A) 0
B) -1
C) 1
D)
E)
A) 0
B) -1
C) 1
D)
E)
Passo 1
O enunciado dá a informação de que
é um número complexo tal que
e
. Pede-se o valor numérico de
Informações relevantes que temos:
-
com . - A expressão a avaliar contém potências de
e recíprocos dessas potências.
Passo 2
Propriedade importante (explicação didática): se
, então as potências de
são periódicas módulo
. Ou seja, para qualquer inteiro
vale
. Também, para
inteiro,
e como
podemos escrever
para algum inteiro
de modo a obter um expoente entre
e
. Em particular,
quando
. Esta simplificação usa que
e a periodicidade das potências.
Passo 3
Reduzir os expoentes na expressão dada módulo
, porque
.
-
, logo . -
, logo . -
, logo .
Agora os recíprocos:
-
(pois ). -
. -
.
Passo 4
Substituindo essas reduções na expressão original, obtemos
Reordenando os termos,
Passo 5
Outra propriedade fundamental (explicação didática): a soma de todas as
-ésimas raízes da unidade é zero. Mais precisamente, se
é uma raiz primitiva
-ésima da unidade então
porque isto é uma série geométrica com razão
e
; de forma algébrica
No nosso caso
é uma dessas raízes (exceto
), então a fórmula acima vale para
também.
Passo 6
Da soma total das raízes,
temos
Como
, segue que
Comparando com o resultado do Passo 4, vemos que a expressão pedida é exatamente
. Portanto o valor numérico procurado é
.
Resposta
-1