1. Sendo \mathbf{Z} tal que \mathbf{z}^{7}=1 e \mathbf{z} \neq 1, então o valor numérico de z^{10}+\frac{1}{z^{10}}+z^{30}+\frac{1}{z^{30}}+z^{50}+\frac{1}{z^{50}} é:
    A) 0
    B) -1
    C) 1
    D) \frac{3}{2}
    E) \frac{5}{2}

Passo 1

O enunciado dá a informação de que \mathbf{z} é um número complexo tal que \mathbf{z}^{7}=1 e \mathbf{z}\neq 1. Pede-se o valor numérico de
z^{10}+\frac{1}{z^{10}}+z^{30}+\frac{1}{z^{30}}+z^{50}+\frac{1}{z^{50}}.
Informações relevantes que temos:
  • \mathbf{z}^{7}=1 com \mathbf{z}\neq 1.
  • A expressão a avaliar contém potências de z e recíprocos dessas potências.

Passo 2

Propriedade importante (explicação didática): se \mathbf{z}^{7}=1, então as potências de \mathbf{z} são periódicas módulo 7. Ou seja, para qualquer inteiro k vale \mathbf{z}^{k+7}=\mathbf{z}^{k}. Também, para k inteiro,
\frac{1}{\mathbf{z}^{k}}=\mathbf{z}^{-k},
e como \mathbf{z}^{7}=1 podemos escrever \mathbf{z}^{-k}=\mathbf{z}^{-k+7m} para algum inteiro m de modo a obter um expoente entre 0 e 6. Em particular, \mathbf{z}^{-k}=\mathbf{z}^{7-k} quando 1\le k\le6. Esta simplificação usa que \mathbf{z}\neq 0 e a periodicidade das potências.

Passo 3

Reduzir os expoentes na expressão dada módulo 7, porque \mathbf{z}^{7}=1.
  • 10 \equiv 3 \pmod{7}, logo \mathbf{z}^{10}=\mathbf{z}^{3}.
  • 30 \equiv 2 \pmod{7}, logo \mathbf{z}^{30}=\mathbf{z}^{2}.
  • 50 \equiv 1 \pmod{7}, logo \mathbf{z}^{50}=\mathbf{z}^{1}=\mathbf{z}.
Agora os recíprocos:
  • \dfrac{1}{\mathbf{z}^{10}}=\mathbf{z}^{-10}=\mathbf{z}^{-3}=\mathbf{z}^{4} (pois -3\equiv 4\pmod{7}).
  • \dfrac{1}{\mathbf{z}^{30}}=\mathbf{z}^{-30}=\mathbf{z}^{-2}=\mathbf{z}^{5}.
  • \dfrac{1}{\mathbf{z}^{50}}=\mathbf{z}^{-50}=\mathbf{z}^{-1}=\mathbf{z}^{6}.

Passo 4

Substituindo essas reduções na expressão original, obtemos
\mathbf{z}^{10}+\frac{1}{\mathbf{z}^{10}}+\mathbf{z}^{30}+\frac{1}{\mathbf{z}^{30}}+\mathbf{z}^{50}+\frac{1}{\mathbf{z}^{50}} = \mathbf{z}^{3}+\mathbf{z}^{4}+\mathbf{z}^{2}+\mathbf{z}^{5}+\mathbf{z}+\mathbf{z}^{6}.
Reordenando os termos,
\mathbf{z}+\mathbf{z}^{2}+\mathbf{z}^{3}+\mathbf{z}^{4}+\mathbf{z}^{5}+\mathbf{z}^{6}.

Passo 5

Outra propriedade fundamental (explicação didática): a soma de todas as 7-ésimas raízes da unidade é zero. Mais precisamente, se \omega é uma raiz primitiva 7-ésima da unidade então
\sum_{k=0}^{6}\omega^{k}=0,
porque isto é uma série geométrica com razão \omega\neq 1 e \omega^{7}=1; de forma algébrica
\sum_{k=0}^{6}\omega^{k}=\frac{\omega^{7}-1}{\omega-1}=\frac{1-1}{\omega-1}=0.
No nosso caso \mathbf{z} é uma dessas raízes (exceto 1), então a fórmula acima vale para \mathbf{z} também.

Passo 6

Da soma total das raízes,
\sum_{k=0}^{6}\mathbf{z}^{k}=0,
temos
\mathbf{z}^{0}+\sum_{k=1}^{6}\mathbf{z}^{k}=0.
Como \mathbf{z}^{0}=1, segue que
\sum_{k=1}^{6}\mathbf{z}^{k}=-1.
Comparando com o resultado do Passo 4, vemos que a expressão pedida é exatamente \sum_{k=1}^{6}\mathbf{z}^{k}. Portanto o valor numérico procurado é -1.

Resposta

-1

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