Determine para que valores de
as equações abaixo possuem ao menos uma raiz.
Passo 1
O enunciado pede: determinar para quais valores de
a equação
possui ao menos uma raiz (no sentido de raiz real). As informações fornecidas que vamos usar são os coeficientes da equação:
- coeficiente quadrático:
, - coeficiente linear:
, - termo constante:
.
A pergunta é: para quais valores de
existe pelo menos uma solução real
da equação acima?
Passo 2
Vamos lembrar uma ferramenta padrão para equações quadráticas (quando
). Para a equação
as raízes são dadas pela fórmula quadrática
onde
é o discriminante definido por
Explicando:
mede o que acontece dentro da raiz quadrada. Se
há duas raízes reais distintas; se
há uma raiz real dupla; se
não há raízes reais (as raízes são complexas). Por isso, para garantir pelo menos uma raiz real no caso quadrático precisamos de
.
Passo 3
Calcular o discriminante da nossa equação usando
,
e
:
Passo 4
Exigir
(caso
, isto é, quando a equação é realmente quadrática) dá
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Portanto, sempre que
e
a equação quadrática tem pelo menos uma raiz real (duas se
, uma dupla se
).
Passo 5
Falta tratar o caso em que a equação deixa de ser quadrática, ou seja
. Se
a equação fica linear:
Essa equação linear tem solução única porque o coeficiente de
é diferente de zero:
Logo para
também existe uma raiz real.
Passo 6
Juntando os dois resultados: a condição obtida para
foi
e o caso
(onde a equação é linear) também fornece uma raiz. Assim os valores de
que garantem ao menos uma raiz real são todos os
tais que
.