Determine para que valores de
as equações abaixo possuem ao menos uma raiz.
Passo 1
O enunciado pede: determinar para quais valores de
a equação
possui ao menos uma raiz (ou seja, pelo menos uma solução real para
). Informações dadas:
- Coeficientes dependem do parâmetro
. - A incógnita é
. - Deve-se considerar todos os casos possíveis de
(inclusive ).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): como decidir se uma equação quadrática tem raízes reais.
Uma equação do tipo
com
,
,
reais tem duas situações básicas:
- Se
(é realmente uma quadrática), as raízes são dadas pela fórmula quadrática
onde
é o discriminante definido por
Se
há duas raízes reais distintas; se
há uma raiz real dupla; se
não há raízes reais.
- Se
, a equação não é quadrática mas sim linear . Nesse caso existe exatamente uma raiz real, desde que . (Se e não há solução; se todas as são soluções.)
Aplicando ao nosso caso:
,
,
. Vamos tratar separadamente
(quadrática) e
(linear).
Passo 3
Caso
(equação quadrática). Calculamos o discriminante
:
Queremos que exista ao menos uma raiz real, portanto precisamos de
. Assim
Agora resolvemos a desigualdade para
. Subtraindo
e dividindo por
(lembrar que ao dividir por número negativo a desigualdade troca de sentido):
Portanto, para
a condição para existir ao menos uma raiz real é
Passo 4
Caso
(equação linear). Substituindo
na equação obtemos
Resolvendo,
Então para
existe exatamente uma raiz real (
). Note que
satisfaz
, logo ele já está incluído no intervalo encontrado no passo anterior.
Passo 5
Interpretação e exemplos rápidos para fixar:
- Se
então e a equação tem duas raízes reais distintas. Exemplo: dá , logo duas raízes reais (pela fórmula ). - Se
então e existe uma raiz real dupla. Calculando a raiz:
- Se
e então e não há raízes reais.
Portanto todos os
que garantem ao menos uma raiz real são exatamente aqueles com
.