Determine para que valores de m as equações abaixo possuem ao menos uma raiz.
m x^{2}-5 x+10=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar para quais valores de m a equação
m x^{2}-5 x+10=0
possui ao menos uma raiz (ou seja, pelo menos uma solução real para x). Informações dadas:
  • Coeficientes dependem do parâmetro m.
  • A incógnita é x.
  • Deve-se considerar todos os casos possíveis de m (inclusive m=0).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): como decidir se uma equação quadrática tem raízes reais.
Uma equação do tipo a x^{2}+b x+c=0 com a, b, c reais tem duas situações básicas:
  • Se a\neq 0 (é realmente uma quadrática), as raízes são dadas pela fórmula quadrática
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta é o discriminante definido por
\Delta=b^{2}-4ac.
Se \Delta>0 há duas raízes reais distintas; se \Delta=0 há uma raiz real dupla; se \Delta<0 não há raízes reais.
  • Se a=0, a equação não é quadrática mas sim linear b x+c=0. Nesse caso existe exatamente uma raiz real, desde que b\neq 0. (Se a=b=0 e c\neq0 não há solução; se a=b=c=0 todas as x são soluções.)
Aplicando ao nosso caso: a=m, b=-5, c=10. Vamos tratar separadamente m\neq 0 (quadrática) e m=0 (linear).

Passo 3

Caso m\neq 0 (equação quadrática). Calculamos o discriminante \Delta:
\Delta = b^{2}-4ac = (-5)^{2}-4\cdot m \cdot 10 = 25-40m.
Queremos que exista ao menos uma raiz real, portanto precisamos de \Delta\ge 0. Assim
25-40m \ge 0.
Agora resolvemos a desigualdade para m. Subtraindo 25 e dividindo por -40 (lembrar que ao dividir por número negativo a desigualdade troca de sentido):
-40m \ge -25 \quad\Rightarrow\quad m \le \frac{25}{40}=\frac{5}{8}.
Portanto, para m\neq 0 a condição para existir ao menos uma raiz real é
m \le \frac{5}{8}.

Passo 4

Caso m=0 (equação linear). Substituindo m=0 na equação obtemos
-5x+10=0.
Resolvendo,
-5x=-10 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Então para m=0 existe exatamente uma raiz real ( x=2). Note que m=0 satisfaz m\le\frac{5}{8}, logo ele já está incluído no intervalo encontrado no passo anterior.

Passo 5

Interpretação e exemplos rápidos para fixar:
  • Se m<\frac{5}{8} então \Delta>0 e a equação tem duas raízes reais distintas. Exemplo: m=-1 \Delta=25-40(-1)=65>0, logo duas raízes reais (pela fórmula x=\dfrac{5\pm\sqrt{65}}{2(-1)}).
  • Se m=\frac{5}{8} então \Delta=0 e existe uma raiz real dupla. Calculando a raiz:
x=\frac{5}{2m}=\frac{5}{2\cdot\frac{5}{8}}=4.
  • Se m> \frac{5}{8} e m\neq 0 então \Delta<0 e não há raízes reais.
Portanto todos os m que garantem ao menos uma raiz real são exatamente aqueles com m\le\frac{5}{8}.

Resposta

m\le\frac{5}{8}

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