Determine para que valores de m as equações abaixo possuem ao menos uma raiz.
m x^{2}-6 x+9=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar para quais valores de m a equação
m x^{2}-6 x+9=0
possui ao menos uma raiz (no sentido de raiz real). As informações fornecidas que vamos usar são os coeficientes da equação:
  • coeficiente quadrático: a=m,
  • coeficiente linear: b=-6,
  • termo constante: c=9.
A pergunta é: para quais valores de m existe pelo menos uma solução real x da equação acima?

Passo 2

Vamos lembrar uma ferramenta padrão para equações quadráticas (quando a\neq0). Para a equação
a x^{2}+b x+c=0,
as raízes são dadas pela fórmula quadrática
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta é o discriminante definido por
\Delta=b^{2}-4ac.
Explicando: \Delta mede o que acontece dentro da raiz quadrada. Se \Delta>0 há duas raízes reais distintas; se \Delta=0 há uma raiz real dupla; se \Delta<0 não há raízes reais (as raízes são complexas). Por isso, para garantir pelo menos uma raiz real no caso quadrático precisamos de \Delta\ge0.

Passo 3

Calcular o discriminante da nossa equação usando a=m, b=-6 e c=9:
\Delta=b^{2}-4ac = (-6)^{2}-4\cdot m\cdot 9 = 36-36m.

Passo 4

Exigir \Delta\ge0 (caso m\neq0, isto é, quando a equação é realmente quadrática) dá
36-36m\ge0.
Dividindo ambos os lados por 36>0 obtemos
1-m\ge0\quad\Longrightarrow\quad m\le1.
Portanto, sempre que m\le1 e m\neq0 a equação quadrática tem pelo menos uma raiz real (duas se m<1, uma dupla se m=1).

Passo 5

Falta tratar o caso em que a equação deixa de ser quadrática, ou seja a=m=0. Se m=0 a equação fica linear:
-6x+9=0.
Essa equação linear tem solução única porque o coeficiente de x é diferente de zero:
x=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.
Logo para m=0 também existe uma raiz real.

Passo 6

Juntando os dois resultados: a condição obtida para \Delta foi m\le1 e o caso m=0 (onde a equação é linear) também fornece uma raiz. Assim os valores de m que garantem ao menos uma raiz real são todos os m tais que m\le1.

Resposta

m\le1

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