Determine para que valores de m as equações abaixo possuem ao menos uma raiz.
4 x^{2}+12 x+m=0

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
4x^{2}+12x+m=0
e pede: determinar para quais valores de m essa equação possui ao menos uma raiz real (ou seja, tem solução real).
Informações relevantes fornecidas:
  • Coeficientes da equação: o termo em x^{2} é 4, o termo em x é 12 e o termo independente é m.
  • Queremos saber os valores de m que garantem existência de pelo menos uma raiz real.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicação didática):
Para uma equação quadrática geral
ax^{2}+bx+c=0,
definimos o discriminante \Delta por
\Delta = b^{2}-4ac.
O discriminante é um número que nos diz quantas raízes reais a quadrática tem:
  • Se \Delta>0, a equação tem duas raízes reais distintas.
  • Se \Delta=0, a equação tem exatamente uma raiz real (raiz dupla).
  • Se \Delta<0, a equação não tem raízes reais (as raízes são complexas).
Aqui cada símbolo significa:
  • a é o coeficiente de x^{2},
  • b é o coeficiente de x,
  • c é o termo independente.
    Essa é uma ferramenta padrão e rápida para responder se existem raízes reais sem precisar calcular as raízes explicitamente.

Passo 3

Identificar os coeficientes na nossa equação comparando com ax^{2}+bx+c=0:
  • a = 4,
  • b = 12,
  • c = m.
Coloquei cada coeficiente em TeX para ficar claro.

Passo 4

Calcular o discriminante \Delta usando os valores acima:
\Delta = b^{2}-4ac = 12^{2}-4\cdot 4\cdot m.
Agora efetuo as operações:
\Delta = 144 - 16m.

Passo 5

Impor a condição para existir ao menos uma raiz real: \Delta \ge 0. Assim:
144 - 16m \ge 0.
Resolver essa desigualdade passo a passo. Primeiro isolar o termo com m:
-16m \ge -144.
Agora dividir ambos os lados por -16. Lembre-se: ao dividir uma desigualdade por um número negativo, o sinal da desigualdade se inverte. Dividindo,
m \le \frac{-144}{-16}.
Calcule a fração:
\frac{-144}{-16} = \frac{144}{16} = 9.
Portanto a desigualdade fica
m \le 9.

Passo 6

Interpretação final e observações úteis para a prova:
  • Para todo m tal que \,m<9, tem-se \Delta>0 e a equação tem duas raízes reais distintas.
  • Para m=9, tem-se \Delta=0 e a equação tem uma única raiz real (dupla). Se quiser ver essa raiz, basta usar a fórmula da raiz quando \Delta=0:
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2\cdot 4} = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2}.
  • Para m>9, tem-se \Delta<0 e não há raízes reais.
Essas manipulações são as que costumam cair em prova: identificar a,b,c, calcular \Delta e resolver \Delta\ge 0. Fica a dica: memorize a regra do sinal do discriminante e pratique isolando m com cuidado quanto ao sinal ao dividir por número negativo.

Resposta

m \le 9

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