Determine para que valores de
as equações abaixo possuem ao menos uma raiz.
Passo 1
O enunciado dá a equação quadrática
e pede: determinar para quais valores de
essa equação possui ao menos uma raiz real (ou seja, tem solução real).
Informações relevantes fornecidas:
- Coeficientes da equação: o termo em
é , o termo em é e o termo independente é . - Queremos saber os valores de
que garantem existência de pelo menos uma raiz real.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (explicação didática):
Para uma equação quadrática geral
Para uma equação quadrática geral
definimos o discriminante
por
O discriminante é um número que nos diz quantas raízes reais a quadrática tem:
- Se
, a equação tem duas raízes reais distintas. - Se
, a equação tem exatamente uma raiz real (raiz dupla). - Se
, a equação não tem raízes reais (as raízes são complexas).
Aqui cada símbolo significa:
-
é o coeficiente de , -
é o coeficiente de , -
é o termo independente.
Essa é uma ferramenta padrão e rápida para responder se existem raízes reais sem precisar calcular as raízes explicitamente.
Passo 3
Identificar os coeficientes na nossa equação comparando com
:
-
, -
, -
.
Coloquei cada coeficiente em TeX para ficar claro.
Passo 4
Calcular o discriminante
usando os valores acima:
Agora efetuo as operações:
Passo 5
Impor a condição para existir ao menos uma raiz real:
. Assim:
Resolver essa desigualdade passo a passo. Primeiro isolar o termo com
:
Agora dividir ambos os lados por
. Lembre-se: ao dividir uma desigualdade por um número negativo, o sinal da desigualdade se inverte. Dividindo,
Calcule a fração:
Portanto a desigualdade fica
Passo 6
Interpretação final e observações úteis para a prova:
- Para todo
tal que , tem-se e a equação tem duas raízes reais distintas. - Para
, tem-se e a equação tem uma única raiz real (dupla). Se quiser ver essa raiz, basta usar a fórmula da raiz quando :
- Para
, tem-se e não há raízes reais.
Essas manipulações são as que costumam cair em prova: identificar
, calcular
e resolver
. Fica a dica: memorize a regra do sinal do discriminante e pratique isolando
com cuidado quanto ao sinal ao dividir por número negativo.