Determine para que valores de
as equações abaixo possuem ao menos uma raiz.
Passo 1
O enunciado pede: determinar para quais valores de
a equação
possui ao menos uma raiz. As informações fornecidas são os coeficientes da equação quadrática:
- coeficiente
, - coeficiente
, - termo constante
.
Passo 2
Explicando a ideia que vamos usar (passo a passo, sem pular etapas). Uma equação quadrática geral tem a forma
com
,
,
constantes e
. A existência de raízes reais depende do discriminante, definido por
Interpretação do discriminante:
- Se
então existem duas raízes reais distintas. - Se
então existe exatamente uma raiz real (raiz dupla). - Se
então não existem raízes reais (as raízes são complexas conjugadas).
Aqui temos
, portanto a equação é quadrática e basta exigir
para garantir “ao menos uma raiz” real.
Passo 3
Calcular o discriminante substituindo
,
e
:
Fazendo as contas passo a passo:
logo
Passo 4
Impor a condição de existência de pelo menos uma raiz real:
Resolver essa desigualdade:
Dividindo ambos os lados por
(reparar que ao dividir por número negativo a desigualdade inverte o sinal):
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por
):
Passo 5
Interpretação dos casos:
- Se
então e a equação tem duas raízes reais distintas. - Se
então e há uma única raiz real (dupla), que vale
- Se
então e não há raízes reais.
Exemplos numéricos para fixar:
- Tomando
(que é menor que ), temos , e as raízes são
- Tomando
(maior que ), temos : não há raízes reais.
Dica para prova: identificar
,
,
, calcular
e resolver
— é o caminho mais rápido e seguro.