Determine para que valores de m as equações abaixo possuem ao menos uma raiz.
5 x^{2}-8 x+m=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar para quais valores de m a equação
5x^{2}-8x+m=0
possui ao menos uma raiz. As informações fornecidas são os coeficientes da equação quadrática:
  • coeficiente a=5,
  • coeficiente b=-8,
  • termo constante c=m.

Passo 2

Explicando a ideia que vamos usar (passo a passo, sem pular etapas). Uma equação quadrática geral tem a forma
ax^{2}+bx+c=0,
com a, b, c constantes e a\neq0. A existência de raízes reais depende do discriminante, definido por
\Delta = b^{2}-4ac.
Interpretação do discriminante:
  • Se \Delta>0 então existem duas raízes reais distintas.
  • Se \Delta=0 então existe exatamente uma raiz real (raiz dupla).
  • Se \Delta<0 então não existem raízes reais (as raízes são complexas conjugadas).
Aqui temos a=5\neq0, portanto a equação é quadrática e basta exigir \Delta\ge0 para garantir “ao menos uma raiz” real.

Passo 3

Calcular o discriminante substituindo a=5, b=-8 e c=m:
\Delta = (-8)^{2}-4\cdot 5\cdot m.
Fazendo as contas passo a passo:
(-8)^{2}=64, \qquad 4\cdot 5\cdot m = 20m,
logo
\Delta = 64-20m.

Passo 4

Impor a condição de existência de pelo menos uma raiz real:
\Delta \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 64-20m \ge 0.
Resolver essa desigualdade:
-20m \ge -64.
Dividindo ambos os lados por -20 (reparar que ao dividir por número negativo a desigualdade inverte o sinal):
m \le \frac{64}{20}.
Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por 4):
m \le \frac{16}{5}.

Passo 5

Interpretação dos casos:
  • Se m<\dfrac{16}{5} então \Delta>0 e a equação tem duas raízes reais distintas.
  • Se m=\dfrac{16}{5} então \Delta=0 e há uma única raiz real (dupla), que vale
x=\frac{-b}{2a}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}.
  • Se m>\dfrac{16}{5} então \Delta<0 e não há raízes reais.
Exemplos numéricos para fixar:
  • Tomando m=3 (que é menor que \tfrac{16}{5}=3{,}2), temos \Delta=64-60=4, \sqrt{\Delta}=2 e as raízes são
x=\frac{8\pm2}{10}\Rightarrow x_{1}=1,\; x_{2}=\frac{3}{5}.
  • Tomando m=4 (maior que 3{,}2), temos \Delta=64-80=-16<0: não há raízes reais.
Dica para prova: identificar a, b, c, calcular \Delta=b^{2}-4ac e resolver \Delta\ge0 — é o caminho mais rápido e seguro.

Resposta

m \le \dfrac{16}{5}

Exercícios relacionados