Determine para que valores de m as equações abaixo possuem ao menos uma raiz.
m x^{2}+6 x-15=0

Passo 1

O enunciado dá a equação polinomial
m x^{2}+6 x-15=0,
e pede: para quais valores de m essa equação possui ao menos uma raiz (real).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O coeficiente do termo quadrático é m.
  • O coeficiente do termo linear é 6.
  • O termo constante é -15.
  • Queremos os valores de m tais que a equação tenha ao menos uma solução real.

Passo 2

Vamos lembrar uma ferramenta padrão para equações quadráticas. Para uma equação do tipo
a x^{2}+b x+c=0,
com a\neq0, define-se o discriminante
\Delta = b^{2}-4ac.
Interpretação do discriminante:
  • Se \Delta>0 a equação tem duas raízes reais distintas.
  • Se \Delta=0 a equação tem uma raiz real dupla (uma única raiz real, contada com multiplicidade 2).
  • Se \Delta<0 a equação não tem raízes reais (as raízes são complexas conjugadas).
Aqui expliquei o que é cada símbolo:
  • a é o coeficiente do termo x^{2},
  • b é o coeficiente do termo x,
  • c é o termo independente,
  • \Delta é o número que decide quantas raízes reais existem.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: identifique os coeficientes na equação m x^{2}+6 x-15=0:
a=m,\qquad b=6,\qquad c=-15.

Passo 4

Calcule o discriminante \Delta em termos de m:
\Delta = b^{2}-4ac = 6^{2}-4\cdot m\cdot(-15).
Agora execute as multiplicações passo a passo:
6^{2}=36,
-4\cdot m\cdot(-15)=+60m.
Portanto
\Delta = 36 + 60m.

Passo 5

Para que haja ao menos uma raiz real, precisamos que \Delta\ge0 (isso cobre os dois casos: duas reais ou uma real dupla). Então exigimos
36+60m \ge 0.
Resolvendo essa inequação passo a passo:
60m \ge -36,
dividindo ambos os lados por 60 (positivo, então o sentido da desigualdade não muda):
m \ge \frac{-36}{60}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 12:
m \ge -\frac{3}{5}.

Passo 6

Verificação das situações extremas e caso especial m=0:
  • Se m>-\tfrac{3}{5} então \Delta>0 e a equação tem duas raízes reais distintas.
  • Se m=-\tfrac{3}{5} então \Delta=0 e existe uma raiz real dupla; podemos calcular essa raiz usando a fórmula x=-\dfrac{b}{2a}. Substituindo a=-\tfrac{3}{5} e b=6: x = -\dfrac{6}{2\cdot\left(-\tfrac{3}{5}\right)} = -\dfrac{6}{-\tfrac{6}{5}} = 5.Logo, em m=-\tfrac{3}{5} a única raiz real é x=5.
  • Se m=0 a equação deixa de ser quadrática e vira linear 6x-15=0, que tem solução x=\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2},portanto também tem ao menos uma raiz. Note que m=0 satisfaz m\ge -\tfrac{3}{5}, então já está incluído na solução encontrada.

Passo 7

Conclusão e interpretação final: a condição necessária e suficiente para que a equação tenha pelo menos uma raiz real é m\ge -\tfrac{3}{5}. Para valores de m menores que -\tfrac{3}{5} a equação não possui raízes reais.

Resposta

m\ge -\dfrac{3}{5}

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