Determine para que valores de
as equações abaixo possuem ao menos uma raiz.
Passo 1
O enunciado dá a equação polinomial
e pede: para quais valores de
essa equação possui ao menos uma raiz (real).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O coeficiente do termo quadrático é
. - O coeficiente do termo linear é
. - O termo constante é
. - Queremos os valores de
tais que a equação tenha ao menos uma solução real.
Passo 2
Vamos lembrar uma ferramenta padrão para equações quadráticas. Para uma equação do tipo
com
, define-se o discriminante
Interpretação do discriminante:
- Se
a equação tem duas raízes reais distintas. - Se
a equação tem uma raiz real dupla (uma única raiz real, contada com multiplicidade 2). - Se
a equação não tem raízes reais (as raízes são complexas conjugadas).
Aqui expliquei o que é cada símbolo:
-
é o coeficiente do termo , -
é o coeficiente do termo , -
é o termo independente, -
é o número que decide quantas raízes reais existem.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: identifique os coeficientes na equação
:
Passo 4
Calcule o discriminante
em termos de
:
Agora execute as multiplicações passo a passo:
Portanto
Passo 5
Para que haja ao menos uma raiz real, precisamos que
(isso cobre os dois casos: duas reais ou uma real dupla). Então exigimos
Resolvendo essa inequação passo a passo:
dividindo ambos os lados por
(positivo, então o sentido da desigualdade não muda):
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Passo 6
Verificação das situações extremas e caso especial
:
- Se
então e a equação tem duas raízes reais distintas. - Se
então e existe uma raiz real dupla; podemos calcular essa raiz usando a fórmula . Substituindo e : Logo, em a única raiz real é . - Se
a equação deixa de ser quadrática e vira linear , que tem solução portanto também tem ao menos uma raiz. Note que satisfaz , então já está incluído na solução encontrada.
Passo 7
Conclusão e interpretação final: a condição necessária e suficiente para que a equação tenha pelo menos uma raiz real é
. Para valores de
menores que
a equação não possui raízes reais.