Determine para que valores de m as equações abaixo possuem ao menos uma raiz.
-x^{2}-8 x+m=0

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
-x^{2}-8x+m=0
e pede: determinar para quais valores de m essa equação possui ao menos uma raiz (interpreto como pelo menos uma raiz real). Informação relevante extraída do enunciado:
  • Os coeficientes, vistos como ax^{2}+bx+c=0, são a=-1, b=-8 e c=m.
  • A pergunta é: para quais m existe pelo menos uma solução real x.

Passo 2

Ferramenta principal (aquela que sempre usamos em quadráticas): a fórmula de Bhaskara e o discriminante. Para uma equação quadrática geral
ax^{2}+bx+c=0
as soluções (quando existem) são dadas por
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde o discriminante \Delta é
\Delta=b^{2}-4ac.
Explicando devagar: a, b e c são os coeficientes do polinômio; \Delta indica se a raiz é real ou não:
  • se \Delta>0 há duas raízes reais distintas;
  • se \Delta=0 há uma raiz real dupla (uma única solução real);
  • se \Delta<0 não há raízes reais (as raízes são complexas).
    Como a pergunta pede “ao menos uma raiz real”, a condição que queremos é
\Delta \ge 0.

Passo 3

Aplicar isso à nossa equação. Identificamos a=-1, b=-8, c=m. Calculamos o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-8)^{2}-4(-1)(m)=64+4m.
Podemos fatorar:
\Delta = 4(16+m).

Passo 4

Impor a condição de existência de raiz real:
\Delta \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 64+4m \ge 0.
Dividindo por 4 (positivo, logo a desigualdade não se inverte),
16+m \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad m \ge -16.
Portanto, para todo m maior ou igual a -16 a equação tem pelo menos uma raiz real. Quando m=-16 temos exatamente uma raiz real dupla; quando m>-16 temos duas raízes reais distintas.

Passo 5

Exemplos rápidos para fixar:
  • Se m=-16, a equação fica -x^{2}-8x-16=0. Multiplicando por -1 x^{2}+8x+16=0, que é (x+4)^{2}=0, então a raiz é x=-4 (dupla).
  • Se m=0, \Delta=64>0 e existem duas raízes reais (pode-se calcular pela fórmula, se quiser).

Resposta

m\ge -16

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