Determine os valores de m e q para que a equação x^{2}+q y^{2}+2 m x-1=0 represente :
uma hipérbole;

Passo 1

O enunciado pede para que a equação de segundo grau em x,y,
x^{2} + q\,y^{2} + 2\,m\,x - 1 = 0,
represente uma hipérbole. Para classificar uma cônica geral A x^{2}+Bxy+C y^{2}+\cdots=0, usamos o discriminante
\Delta = B^{2} - 4\,A\,C.
Se \Delta>0, a cônica é uma hipérbole.

Passo 2

Na nossa equação temos
A = 1,\quad B = 0,\quad C = q.
Logo
\Delta = B^{2} - 4\,A\,C = 0^{2} - 4\cdot1\cdot q = -4\,q.
Para \Delta>0 é preciso
-4\,q > 0 \quad\Longrightarrow\quad q < 0.
Não há restrição sobre m, pois completando o quadrado em x obtemos
(x+m)^{2} + q\,y^{2} = 1 + m^{2},
e como 1+m^{2}>0 para todo m, a cônica não se degenera.

Resposta

Deve valer q<0 e m\in\mathbb{R}.

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