Determine os valores de m e q para que a equação x^{2}+q y^{2}+2 m x-1=0 represente :
uma parábola;

Passo 1

O enunciado dá a curva de segunda ordem
x^{2} + q\,y^{2} + 2m\,x - 1 = 0
e pede para que ela seja uma parábola. Em teoria de cônicas, identificamos os coeficientes da parte quadrática:
A = 1,\quad B = 0,\quad C = q.
Para classificar a cônica usamos o discriminante \Delta = B^{2} - 4AC.

Passo 2

Recordando a classificação pela parte quadrática:
  • Se \Delta > 0, é hipérbole.
  • Se \Delta = 0, é parábola.
  • Se \Delta < 0, é elipse (ou círculo, se A=C).

Passo 3

Calculamos
\Delta = B^{2} - 4AC = 0^{2} - 4\cdot1\cdot q = -4q.
Impondo \Delta = 0 para termos uma parábola, vem
-4q = 0 \quad\Longrightarrow\quad q = 0.

Passo 4

Não aparece nenhuma outra restrição sobre m. Logo, para toda m\in\mathbb{R} e
q = 0
a curva é “do tipo” parábola (isto é, satisfaz \Delta=0).

Resposta

q = 0 e m é qualquer número real.

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