Determine para quais valores de k \in \mathbb{R} a equação abaixo possui solução em [-4,5] :
|x-2|+|x+3|=k

Passo 1

O enunciado pede os valores de k\in\mathbb{R} tais que exista x\in[-4,5] satisfazendo
|x-2| + |x+3| = k.
O conteúdo aqui é a análise de uma função definida por soma de valores absolutos e a determinação do seu conjunto-imagem num intervalo fechado.

Passo 2

Os pontos em que mudam os sinais de x-2 e x+3 são x=2 e x=-3. Assim, particionamos o domínio em três subintervalos:
[-4,-3],\quad[-3,2],\quad[2,5],
e em cada um tiramos os módulos.

Passo 3

Para x\in[-4,-3] temos x-2\le0 e x+3\le0, logo
f(x)=|x-2|+|x+3| = -(x-2) - (x+3) = -2x -1.
Neste intervalo f(-4)=7 e f(-3)=5, variando linearmente de 7 até 5.

Passo 4

Para x\in[-3,2] tem-se x+3\ge0 e x-2\le0, portanto
f(x)=-(x-2)+(x+3)=5.
Ou seja, em todo [-3,2] vale constante 5.

Passo 5

Para x\in[2,5] x-2\ge0 e x+3\ge0, então
f(x)=(x-2)+(x+3)=2x+1.
Aqui f(2)=5 e f(5)=11, variando linearmente de 5 até 11.

Passo 6

A união das imagens nos três trechos é
\text{im}\,f = [5,7]\cup\{5\}\cup[5,11] = [5,11].
Logo, a equação f(x)=k tem solução em [-4,5] se, e só se, k\in[5,11].

Resposta

Os valores de k são
[5,11].

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