é a matriz zero. Vou listar o que vou precisar calcular:
\mathbf{A}^{2}=\mathbf{A}\mathbf{A} (produto de matrizes);
6\mathbf{A} (multiplicação escalar de matriz);
5I onde I é a matriz identidade 2\times2.
A resolução começa a partir desses cálculos elementares.]
Passo 2
Lembrete rápido sobre multiplicação de matrizes 2\times2. Se
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então
\mathbf{A}^{2}=\mathbf{A}\mathbf{A}= \begin{pmatrix} a\cdot a + b\cdot c & a\cdot b + b\cdot d \\[4pt] c\cdot a + d\cdot c & c\cdot b + d\cdot d \end{pmatrix}.
Aqui cada entrada do produto é a soma de produtos correspondentes (linha da primeira pela coluna da segunda). Aplicando isso em \mathbf{A}=\begin{pmatrix}2&3\\[4pt]1&4\end{pmatrix}:
Interpretação final rápida (para ajudar na prova): verificar uma igualdade matricial como \mathbf{A}^{2}-6\mathbf{A}+5I=\mathbf{0} significa checar todas as entradas; fizemos isso passo a passo. Também é útil observar que o polinômio escalar correspondente é p(t)=t^{2}-6t+5=(t-1)(t-5), e a igualdade mostra que \mathbf{A} satisfaz esse polinômio (isto é, p(\mathbf{A})=\mathbf{0}). Mas para a questão pedida, a conta explícita acima já conclui.