Mostre que \mathbf{A}^{\mathbf{2}}-\mathbf{6}^{\mathbf{a}}+\mathbf{5} I^{\mathbf{2}}=\mathbf{0}, se \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\\\ 1 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix}
e pede para mostrar que a expressão matricial
\mathbf{A}^{2}-6\mathbf{A}+5I
é a matriz zero. Vou listar o que vou precisar calcular:
  • \mathbf{A}^{2}=\mathbf{A}\mathbf{A} (produto de matrizes);
  • 6\mathbf{A} (multiplicação escalar de matriz);
  • 5I onde I é a matriz identidade 2\times2.
    A resolução começa a partir desses cálculos elementares.]

Passo 2

Lembrete rápido sobre multiplicação de matrizes 2\times2. Se
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então
\mathbf{A}^{2}=\mathbf{A}\mathbf{A}= \begin{pmatrix} a\cdot a + b\cdot c & a\cdot b + b\cdot d \\[4pt] c\cdot a + d\cdot c & c\cdot b + d\cdot d \end{pmatrix}.
Aqui cada entrada do produto é a soma de produtos correspondentes (linha da primeira pela coluna da segunda). Aplicando isso em \mathbf{A}=\begin{pmatrix}2&3\\[4pt]1&4\end{pmatrix}:
Calculemos entrada por entrada:
\begin{aligned} (\mathbf{A}^{2})_{11} &= 2\cdot 2 + 3\cdot 1 = 4 + 3 = 7,\\[4pt] (\mathbf{A}^{2})_{12} &= 2\cdot 3 + 3\cdot 4 = 6 + 12 = 18,\\[4pt] (\mathbf{A}^{2})_{21} &= 1\cdot 2 + 4\cdot 1 = 2 + 4 = 6,\\[4pt] (\mathbf{A}^{2})_{22} &= 1\cdot 3 + 4\cdot 4 = 3 + 16 = 19. \end{aligned}
Portanto
\mathbf{A}^{2}=\begin{pmatrix}7 & 18 \\[4pt] 6 & 19\end{pmatrix}.]

Passo 3

Multiplicação escalar: multiplicar uma matriz por um número significa multiplicar cada entrada por esse número. Então
6\mathbf{A}=6\begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6\cdot 2 & 6\cdot 3 \\[4pt] 6\cdot 1 & 6\cdot 4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}12 & 18 \\[4pt] 6 & 24\end{pmatrix}.]

Passo 4

A matriz identidade 2\times2 é
I=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Multiplicando por 5 obtemos
5I=\begin{pmatrix}5 & 0 \\[4pt] 0 & 5\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora vamos combinar as matrizes conforme a expressão. Primeiro subtração de matrizes: subtrai-se entrada a entrada.
\mathbf{A}^{2}-6\mathbf{A} =\begin{pmatrix}7 & 18 \\[4pt] 6 & 19\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}12 & 18 \\[4pt] 6 & 24\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}7-12 & 18-18 \\[4pt] 6-6 & 19-24\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-5 & 0 \\[4pt] 0 & -5\end{pmatrix}.
Agora somamos 5I:
\mathbf{A}^{2}-6\mathbf{A}+5I =\begin{pmatrix}-5 & 0 \\[4pt] 0 & -5\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}5 & 0 \\[4pt] 0 & 5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-5+5 & 0+0 \\[4pt] 0+0 & -5+5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
A matriz resultante é a matriz zero 2\times2.]

Passo 6

Interpretação final rápida (para ajudar na prova): verificar uma igualdade matricial como \mathbf{A}^{2}-6\mathbf{A}+5I=\mathbf{0} significa checar todas as entradas; fizemos isso passo a passo. Também é útil observar que o polinômio escalar correspondente é p(t)=t^{2}-6t+5=(t-1)(t-5), e a igualdade mostra que \mathbf{A} satisfaz esse polinômio (isto é, p(\mathbf{A})=\mathbf{0}). Mas para a questão pedida, a conta explícita acima já conclui.

Resposta

\mathbf{A}^{2}-6\mathbf{A}+5I=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}]

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