Dadas as matrizes A, B e C abaixo, reduza as matrizes à sua forma escada, utilizando o método de Gauss.
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right] ; \quad B=\left[\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 3 & -2 \\ 2 & 1 & -4 & 3 \\ 2 & 3 & 2 & -1 \end{array}\right] \text { e } \quad C=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 3 & -4 & 2 \\ 2 & -3 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: reduzir as matrizes dadas à sua forma escada usando o método de Gauss (eliminação por operações elementares de linha). As matrizes fornecidas são:
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 3 & -1 \\\\ 2 & -1 & 2 & 3 \\\\ 3 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right], \qquad B=\left[\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 2 & 1 & -4 & 3 \\\\ 2 & 3 & 2 & -1 \end{array}\right], \qquad C=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 2 & 2 \\\\ 1 & 1 & 3 \\\\ 3 & -4 & 2 \\\\ 2 & -3 & 1 \end{array}\right].
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para cada matriz deve-se aplicar operações elementares sobre linhas (trocar duas linhas; multiplicar uma linha por escalar não nulo; somar a uma linha um múltiplo de outra) até obter a forma escada (row echelon form).
  • A forma escada exige que cada linha não-nula tenha seu primeiro elemento não-nulo (pivot) à direita do pivot da linha acima, e que todas as linhas nulas fiquem abaixo das não-nulas.
  • Não foi pedido reduzir completamente para forma reduzida — basta a forma escada obtida pelo processo de Gauss.

Passo 2

Conceitos rápidos e como vamos operar (mini-aula prática):
  • Operações elementares de linha: são três tipos e preservam o espaço linha e a solução de sistemas associados:
    1. trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j,
    2. multiplicar uma linha por escalar não-nulo: R_i \leftarrow \lambda R_i com \lambda\neq0,
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + \mu R_j.
  • Objetivo do método de Gauss: escolher um pivot (um elemento não-nulo em uma coluna), usar esse pivot para zerar todos os elementos abaixo dele naquela coluna, passar para a próxima linha/coluna e repetir.
  • Vou mostrar cada operação explicitamente e explicar os cálculos aritméticos passo a passo.
Agora começamos a eliminação na matriz A.

Passo 3

Matriz A. Etapa 1: usar a_{11}=1 como pivot (primeira linha, primeira coluna). Eliminar abaixo:
  • Aplicar R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
    Cálculo por entradas: R_2: \; 2-2\cdot1=0,\quad -1-2\cdot(-2)= -1+4=3,\quad 2-2\cdot3=2-6=-4,\quad 3-2\cdot(-1)=3+2=5.Logo R_2=[0,\,3,\,-4,\,5].
  • Aplicar R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
    Cálculo por entradas: R_3: \; 3-3\cdot1=0,\quad 1-3\cdot(-2)=1+6=7,\quad 2-3\cdot3=2-9=-7,\quad 3-3\cdot(-1)=3+3=6.Logo R_3=[0,\,7,\,-7,\,6].
Após essas operações obtemos
\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 3 & -1 \\\\ 0 & 3 & -4 & 5 \\\\ 0 & 7 & -7 & 6 \end{array}\right].

Passo 4

Matriz A. Etapa 2: pivot na segunda linha, segunda coluna. Para simplificar os cálculos, normalizo o pivot dividindo a segunda linha por 3:
  • R_2 \leftarrow \dfrac{1}{3}R_2 = [0,\,1,\,-\tfrac{4}{3},\,\tfrac{5}{3}].
Agora uso esse pivot para zerar o 7 em R_3:
  • Aplicar R_3 \leftarrow R_3 - 7R_2.
    Cálculo: R_3:\; 0-7\cdot0=0,\quad 7-7\cdot1=0,\quad -7-7\cdot\left(-\tfrac{4}{3}\right)=-7+\tfrac{28}{3}=\tfrac{7}{3},
\quad 6-7\cdot\left(\tfrac{5}{3}\right)=6-\tfrac{35}{3}=\tfrac{18-35}{3}=-\tfrac{17}{3}.
Logo R_3=[0,\,0,\,\tfrac{7}{3},\,-\tfrac{17}{3}].
A matriz fica
\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 3 & -1 \\\\ 0 & 1 & -\tfrac{4}{3} & \tfrac{5}{3} \\\\ 0 & 0 & \tfrac{7}{3} & -\tfrac{17}{3} \end{array}\right].

Passo 5

Matriz A. Etapa 3: normalizar o terceiro pivot (coluna 3). Divido R_3 por \tfrac{7}{3} (ou multiplicar por \tfrac{3}{7}) para obter pivot igual a 1:
  • R_3 \leftarrow \dfrac{3}{7}R_3 = [0,\,0,\,1,\,-\tfrac{17}{7}].
Resultado final em forma escada (pivôs em colunas 1,2,3 progressivamente à direita):
A_{\text{escada}}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 3 & -1 \\\\ 0 & 1 & -\tfrac{4}{3} & \tfrac{5}{3} \\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{17}{7} \end{array}\right].

Passo 6

Agora a matriz B. Observação inicial: b_{11}=0, então troco a primeira linha por uma linha com entrada não-nula na primeira coluna. Troco R_1\leftrightarrow R_2:
\left[\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & -4 & 3 \\\\ 0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 2 & 3 & 2 & -1 \end{array}\right].

Passo 7

Matriz B. Eliminar abaixo do novo pivot b_{11}=2:
  • Aplicar R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
    Cálculo por entradas: R_3:\; 2-2=0,\quad 3-1=2,\quad 2-(-4)=6,\quad -1-3=-4.Logo R_3=[0,\,2,\,6,\,-4].
A matriz fica
\left[\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & -4 & 3 \\\\ 0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 2 & 6 & -4 \end{array}\right].

Passo 8

Matriz B. Pivot na segunda linha, segunda coluna é 1. Usar esse pivot para zerar o 2 em R_3:
  • Aplicar R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2.
    Cálculo: R_3:\; 0-2\cdot0=0,\quad 2-2\cdot1=0,\quad 6-2\cdot3=0,\quad -4-2\cdot(-2)=-4+4=0.Assim R_3=[0,0,0,0].
A forma escada obtida (linha zero por último) é
B_{\text{escada}}=\left[\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & -4 & 3 \\\\ 0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
(Se desejar pivot 1 na primeira linha, poderia dividir a primeira linha por 2; não é necessário para a forma escada.)

Passo 9

Finalmente a matriz C. Observação inicial: c_{11}=0, então escolho uma linha com entrada não-nula na coluna 1 para ser primeira. Trocar R_1\leftrightarrow R_2 (porque R_2 tem 1 na coluna 1):
\left[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 2 & 2 \\\\ 3 & -4 & 2 \\\\ 2 & -3 & 1 \end{array}\right].

Passo 10

Matriz C. Eliminar abaixo do pivot c_{11}=1:
  • R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1: R_3:\; 3-3\cdot1=0,\quad -4-3\cdot1=-7,\quad 2-3\cdot3=2-9=-7,então R_3=[0,-7,-7].
  • R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1: R_4:\; 2-2\cdot1=0,\quad -3-2\cdot1=-5,\quad 1-2\cdot3=1-6=-5,então R_4=[0,-5,-5].
A matriz fica
\left[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & -7 & -7 \\\\ 0 & -5 & -5 \end{array}\right].

Passo 11

Matriz C. Pivot na segunda linha, segunda coluna é 2. Usar esse pivot para zerar as entradas abaixo:
  • Para zerar em R_3: aplicar R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac{7}{2}R_2.
    Cálculo (segundo e terceiro elementos): -7 + \tfrac{7}{2}\cdot2 = -7 + 7 = 0,\qquad -7 + \tfrac{7}{2}\cdot2 = 0,então R_3=[0,0,0].
  • Para zerar em R_4: aplicar R_4 \leftarrow R_4 + \tfrac{5}{2}R_2.
    Cálculo: -5 + \tfrac{5}{2}\cdot2 = -5 +5 = 0,\qquad -5 + \tfrac{5}{2}\cdot2 = 0,então R_4=[0,0,0].
Podemos também normalizar R_2 dividindo por 2 para ter pivot 1:
  • R_2 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_2 = [0,\,1,\,1].
A forma escada final é
C_{\text{escada}}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Resposta

A_{\text{escada}}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 3 & -1 \\\\ 0 & 1 & -\tfrac{4}{3} & \tfrac{5}{3} \\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{17}{7} \end{array}\right]
B_{\text{escada}}=\left[\begin{array}{rrrr} 2 & 1 & -4 & 3 \\\\ 0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
C_{\text{escada}}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

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