Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
.
a)
é a região triangular fechada de vértices
e
a)
Passo 1
O enunciado dá a função
e o conjunto
que é o triângulo fechado de vértices
,
e
.
O que é pedido: determinar os valores máximo e mínimo absolutos de sobre
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
é uma função polinomial (portanto contínua) definida em
.
é um conjunto fechado e limitado (triângulo fechado), logo compacto.
Pelo Teorema do Valor Extremo,
atinge máximo e mínimo absolutos em
.
O que é pedido: determinar os valores máximo e mínimo absolutos de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Estratégia geral (sem resolver ainda): para funções contínuas em conjuntos compactos verificamos (1) pontos críticos no interior de
(onde o gradiente é nulo) e (2) extremos ao longo da fronteira de
(as três arestas do triângulo). Depois comparamos os valores obtidos para decidir máximos e mínimos absolutos.
Passo 3
Procurar pontos críticos no interior de
. Calculamos o gradiente de
:
Igualando o gradiente a zero obtemos o sistema
logo
Esse é o único ponto crítico. Agora precisamos verificar se
pertence ao triângulo
.
Passo 4
Verificar se
está dentro de
. As arestas do triângulo são as retas que ligam:
a
,
a
e
a
. As equações das arestas (para
) são:
Um ponto
do triângulo satisfaz
e
. Para
temos
e
, logo
está no interior de
. Portanto é um candidato a extremo absoluto. Calculamos seu valor:
Passo 5
Agora analisamos a fronteira de
. Há três arestas; trataremos cada uma restringindo
à aresta (função de uma variável) e procurando extremos nessa aresta (derivada igual a zero e endpoints).
Passo 6
Aresta vertical
, com
. Restrição:
Isto é uma função da variável
cujo gráfico é uma parábola com mínimo
em
e aumenta até
nos extremos
. Portanto nesta aresta: mínimo
em
e máximo
em
e
.
Passo 7
Aresta superior: liga
a
com equação
,
. Restrição:
Desenvolvendo:
Derivada:
Zerando:
, que está no intervalo
. Avaliamos
em
,
e
:
Portanto nesta aresta o mínimo é
em
, ou seja no ponto
, e o máximo local/na aresta é
em
.
Passo 8
Aresta inferior: liga
a
com equação
,
. Restrição:
Observação: ao expandir veremos que
, exatamente igual a
. Logo suas derivadas e pontos críticos coincidem. Assim para esta aresta também o mínimo é
em
, que corresponde ao ponto
, e os extremos nos endpoints dão
em
e
em
.
Passo 9
Compilar todos os candidatos a extremos e comparar valores. Candidatos encontrados:
ponto crítico interior
com
.
pontos na fronteira:
com
;
com
;
e
com
; pontos
e
com
.
Além disso, podemos notar uma fórmula útil (completar quadrado) para entender melhor a forma de :
Além disso, podemos notar uma fórmula útil (completar quadrado) para entender melhor a forma de
Dessa forma
é exatamente o quadrado da distância do ponto
ao ponto
. Assim maximizar
em
equivale a maximizar a distância ao ponto
dentro do triângulo, e minimizar
equivale a minimizar essa distância. Isso confirma que o menor possível de
é
(quando a distância é zero, em
) e que os máximos ocorrem nos pontos mais distantes de
dentro de
.
Passo 10
Concluir comparando valores numéricos: os valores que obtivemos são
O menor é
em
. O maior é
e ocorre em
e
.
Resposta
Mínimo absoluto:
em
.
Máximo absoluto: em
e
.
Máximo absoluto: