Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.
a) f(x, y)=x^{2}+y^{2}-2 x, D é a região triangular fechada de vértices (2,0),(0,2) e (0,-2)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+y^{2}-2x e o conjunto D que é o triângulo fechado de vértices (2,0), (0,2) e (0,-2).
O que é pedido: determinar os valores máximo e mínimo absolutos de f sobre D.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\bullet f é uma função polinomial (portanto contínua) definida em \mathbb{R}^{2}.
\bullet D é um conjunto fechado e limitado (triângulo fechado), logo compacto.
\bullet Pelo Teorema do Valor Extremo, f atinge máximo e mínimo absolutos em D.

Passo 2

Estratégia geral (sem resolver ainda): para funções contínuas em conjuntos compactos verificamos (1) pontos críticos no interior de D (onde o gradiente é nulo) e (2) extremos ao longo da fronteira de D (as três arestas do triângulo). Depois comparamos os valores obtidos para decidir máximos e mínimos absolutos.

Passo 3

Procurar pontos críticos no interior de D. Calculamos o gradiente de f:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\left(2x-2,\;2y\right).
Igualando o gradiente a zero obtemos o sistema
2x-2=0,\qquad 2y=0,
logo
x=1,\qquad y=0.
Esse é o único ponto crítico. Agora precisamos verificar se (1,0) pertence ao triângulo D.

Passo 4

Verificar se (1,0) está dentro de D. As arestas do triângulo são as retas que ligam: (0,2) a (2,0), (2,0) a (0,-2) e (0,-2) a (0,2). As equações das arestas (para 0\le x\le 2) são:
\text{aresta superior: } y=-x+2,
\text{aresta inferior: } y=x-2,
\text{aresta vertical: } x=0,\; -2\le y\le 2.
Um ponto (x,y) do triângulo satisfaz 0\le x\le 2 e x-2\le y\le -x+2. Para (1,0) temos 0\le 1\le 2 e -1\le 0\le 1, logo (1,0) está no interior de D. Portanto é um candidato a extremo absoluto. Calculamos seu valor:
f(1,0)=1^{2}+0^{2}-2\cdot1=1-2=-1.

Passo 5

Agora analisamos a fronteira de D. Há três arestas; trataremos cada uma restringindo f à aresta (função de uma variável) e procurando extremos nessa aresta (derivada igual a zero e endpoints).

Passo 6

Aresta vertical x=0, com -2\le y\le 2. Restrição:
f(0,y)=0^{2}+y^{2}-2\cdot 0 = y^{2}.
Isto é uma função da variável y cujo gráfico é uma parábola com mínimo 0 em y=0 e aumenta até 4 nos extremos y=\pm 2. Portanto nesta aresta: mínimo f=0 em (0,0) e máximo f=4 em (0,2) e (0,-2).

Passo 7

Aresta superior: liga (0,2) a (2,0) com equação y=-x+2, 0\le x\le 2. Restrição:
g_{1}(x)=f(x,-x+2)=x^{2}+(-x+2)^{2}-2x.
Desenvolvendo:
g_{1}(x)=x^{2}+x^{2}-4x+4-2x=2x^{2}-6x+4.
Derivada:
g_{1}'(x)=4x-6.
Zerando: 4x-6=0\Rightarrow x=\tfrac{3}{2}, que está no intervalo [0,2]. Avaliamos g_{1} em x=0, x=\tfrac{3}{2} e x=2:
g_{1}(0)=4,\qquad g_{1}\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=2\left(\tfrac{9}{4}\right)-6\left(\tfrac{3}{2}\right)+4=\tfrac{9}{2}-9+4=-\tfrac{1}{2},
g_{1}(2)=2\cdot 4-12+4=0.
Portanto nesta aresta o mínimo é -\tfrac{1}{2} em x=\tfrac{3}{2}, ou seja no ponto \left(\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2}\right), e o máximo local/na aresta é 4 em (0,2).

Passo 8

Aresta inferior: liga (2,0) a (0,-2) com equação y=x-2, 0\le x\le 2. Restrição:
g_{2}(x)=f(x,x-2)=x^{2}+(x-2)^{2}-2x.
Observação: ao expandir veremos que g_{2}(x)=2x^{2}-6x+4, exatamente igual a g_{1}(x). Logo suas derivadas e pontos críticos coincidem. Assim para esta aresta também o mínimo é -\tfrac{1}{2} em x=\tfrac{3}{2}, que corresponde ao ponto \left(\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2}\right), e os extremos nos endpoints dão g_{2}(0)=4 em (0,-2) e g_{2}(2)=0 em (2,0).

Passo 9

Compilar todos os candidatos a extremos e comparar valores. Candidatos encontrados:
\bullet ponto crítico interior (1,0) com f(1,0)=-1.
\bullet pontos na fronteira: (0,0) com f=0; (2,0) com f=0; (0,2) e (0,-2) com f=4; pontos \left(\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2}\right) e \left(\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2}\right) com f=-\tfrac{1}{2}.
Além disso, podemos notar uma fórmula útil (completar quadrado) para entender melhor a forma de f:
f(x,y)=x^{2}-2x+y^{2}=(x-1)^{2}+y^{2}-1.
Dessa forma f(x,y)+1=(x-1)^{2}+y^{2} é exatamente o quadrado da distância do ponto (x,y) ao ponto (1,0). Assim maximizar f em D equivale a maximizar a distância ao ponto (1,0) dentro do triângulo, e minimizar f equivale a minimizar essa distância. Isso confirma que o menor possível de f é -1 (quando a distância é zero, em (1,0)) e que os máximos ocorrem nos pontos mais distantes de (1,0) dentro de D.

Passo 10

Concluir comparando valores numéricos: os valores que obtivemos são
-\!1,\quad -\tfrac{1}{2},\quad 0,\quad 4.
O menor é -1 em (1,0). O maior é 4 e ocorre em (0,2) e (0,-2).

Resposta

Mínimo absoluto: -1 em (1,0).
Máximo absoluto: 4 em (0,2) e (0,-2).

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