Seja
.
a) Mostre que
.
b) Determine a equaçāo da reta tangente ao gráfico de
correspondendo ao ponto
.
a) Mostre que
b) Determine a equaçāo da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Mostrar que
. - (b) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto .
As informações dadas são:
.
Observação importante: a expressão pedida em (a) usa a letra , mas o enunciado original define
em função de
e não fornece qualquer definição de
. Portanto, tal igualdade só faz sentido se
for previamente definida (por exemplo, como uma função de
ou como uma constante expressa em termos de
). Como o enunciado não define
, não é possível provar a igualdade exatamente na forma
para alguma constante
sem mais informação.
Vou, então, calcular explicitamente em termos de
(isso responde a (a) de forma correta) e depois usar esse resultado para obter a reta tangente em
(b). Se o objetivo fosse expressar
na forma
, mostro também qual
(dependente de
) faria essa igualdade.
Observação importante: a expressão pedida em (a) usa a letra
Vou, então, calcular explicitamente
Passo 2
Relembrando regras usadas (bem devagar, passo a passo):
- Derivada de
em relação a é . Aqui é a constante logarítmica natural de . - Derivada de
é . - Regra do quociente: se
então
Vou aplicar essas fórmulas com
e
.
Passo 3
Calcule
e
:
Aplicando a regra do quociente:
Agora fatoro
no numerador:
Essa é a forma explícita correta de
em termos de
.
Passo 4
Comparação com a forma pedida
. Para que
valha, precisaríamos ter
Isto implica que, se quisermos escrever
na forma
, então
teria que ser dependente de
, dado por
Portanto:
- Se a intenção era apresentar uma constante
(independente de ), a igualdade pedida não pode ser garantida sem informação adicional relacionando e . - Se aceitarmos
como função de , então a expressão acima define e a igualdade é apenas reescrita da derivada já encontrada.
Passo 5
Agora vou determinar a equação da reta tangente ao gráfico de
em
. Fórmula da reta tangente em
:
Aqui
. Primeiro calculo
:
Agora calculo
usando a expressão de
obtida no Passo 3. Substituindo
:
Portanto a reta tangente em
é
Posso também escrever de forma ligeiramente mais compacta:
Resposta
Reta tangente em