Seja g(x)=\frac{c^{x}}{e^{x}+1}.
a) Mostre que g^{\prime}(x)=\frac{r^{2}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}.
b) Determine a equaçāo da reta tangente ao gráfico de g(x) correspondendo ao ponto x=0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Mostrar que g^{\prime}(x)=\frac{r^{2}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}.
  2. (b) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de g(x) no ponto x=0.
As informações dadas são: g(x)=\dfrac{c^{x}}{e^{x}+1}.
Observação importante: a expressão pedida em (a) usa a letra r, mas o enunciado original define g em função de c e não fornece qualquer definição de r. Portanto, tal igualdade só faz sentido se r for previamente definida (por exemplo, como uma função de x ou como uma constante expressa em termos de c). Como o enunciado não define r, não é possível provar a igualdade exatamente na forma \dfrac{r^{2}}{(e^{x}+1)^{2}} para alguma constante r sem mais informação.
Vou, então, calcular explicitamente g'(x) em termos de c (isso responde a (a) de forma correta) e depois usar esse resultado para obter a reta tangente em x=0 (b). Se o objetivo fosse expressar g'(x) na forma \dfrac{r^{2}}{(e^{x}+1)^{2}}, mostro também qual r (dependente de x) faria essa igualdade.

Passo 2

Relembrando regras usadas (bem devagar, passo a passo):
  • Derivada de c^{x} em relação a x é \dfrac{d}{dx}c^{x}=c^{x}\ln c. Aqui \ln c é a constante logarítmica natural de c.
  • Derivada de e^{x} é \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • Regra do quociente: se g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Vou aplicar essas fórmulas com u(x)=c^{x} e v(x)=e^{x}+1.

Passo 3

Calcule u'(x) e v'(x):
u(x)=c^{x}\quad\Rightarrow\quad u'(x)=c^{x}\ln c.
v(x)=e^{x}+1\quad\Rightarrow\quad v'(x)=e^{x}.
Aplicando a regra do quociente:
g'(x)=\frac{c^{x}\ln c\,(e^{x}+1)-c^{x}\,e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}.
Agora fatoro c^{x} no numerador:
g'(x)=\frac{c^{x}\big(\ln c\,(e^{x}+1)-e^{x}\big)}{(e^{x}+1)^{2}}.
Essa é a forma explícita correta de g'(x) em termos de c.

Passo 4

Comparação com a forma pedida \dfrac{r^{2}}{(e^{x}+1)^{2}}. Para que
\frac{c^{x}\big(\ln c\,(e^{x}+1)-e^{x}\big)}{(e^{x}+1)^{2}}=\frac{r^{2}}{(e^{x}+1)^{2}}
valha, precisaríamos ter
r^{2}=c^{x}\big(\ln c\,(e^{x}+1)-e^{x}\big).
Isto implica que, se quisermos escrever g'(x) na forma \dfrac{r^{2}}{(e^{x}+1)^{2}}, então r teria que ser dependente de x, dado por
r(x)=\sqrt{\,c^{x}\big(\ln c\,(e^{x}+1)-e^{x}\big)\,}.
Portanto:
  • Se a intenção era apresentar uma constante r (independente de x), a igualdade pedida não pode ser garantida sem informação adicional relacionando c e r.
  • Se aceitarmos r como função de x, então a expressão acima define r(x) e a igualdade é apenas reescrita da derivada já encontrada.

Passo 5

Agora vou determinar a equação da reta tangente ao gráfico de g em x=0. Fórmula da reta tangente em x=a:
y=g(a)+g'(a)\,(x-a).
Aqui a=0. Primeiro calculo g(0):
g(0)=\frac{c^{0}}{e^{0}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Agora calculo g'(0) usando a expressão de g'(x) obtida no Passo 3. Substituindo x=0:
g'(0)=\frac{c^{0}\big(\ln c\,(e^{0}+1)-e^{0}\big)}{(e^{0}+1)^{2}} =\frac{1\big(\ln c\cdot(1+1)-1\big)}{(1+1)^{2}} =\frac{2\ln c-1}{4}.
Portanto a reta tangente em x=0 é
y=g(0)+g'(0)\,x=\frac{1}{2}+\frac{2\ln c-1}{4}\,x.
Posso também escrever de forma ligeiramente mais compacta:
y=\frac{1}{2}+\frac{2\ln c-1}{4}\,x.

Resposta

g'(x)=\dfrac{c^{x}\big(\ln c\,(e^{x}+1)-e^{x}\big)}{(e^{x}+1)^{2}}
Reta tangente em x=0\colon\; y=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2\ln c-1}{4}\,x

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