Em cada um dos exemplos a seguir, verifique se a respectiva função
é contínua no ponto
. Se for o caso da função não ser contínua em
, diga se
é uma descontinuidade removível.
e
Passo 1
O enunciado dá o ponto
A tarefa é verificar se
. Se não for contínua, devo dizer se a descontinuidade em
é removível.]
Passo 2
Vou lembrar a definição de continuidade num ponto (de forma bem direta):
é contínua em
se, e somente se,
existe (ou seja, as duas limites laterais existem e são iguais) e esse limite é igual a
. Em outras palavras, para
precisamos que
Se as duas limites laterais não coincidirem, o limite
não existe e a função não é contínua em
. A descontinuidade é removível quando o limite existe (finito) mas é diferente do valor dado
; nesse caso, mudando
para esse limite a função fica contínua.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão
Portanto, para
temos
Ou seja, fora de
a função toma só os valores
(à direita) e
(à esquerda).
Passo 4
Calculo os limites laterais em
.
Limite pela direita:
porque para
a função é constantemente
numa vizinhança positiva de
.
Limite pela esquerda:
porque para
a função é constantemente
numa vizinhança negativa de
.
Passo 5
Como
e
, os dois limites laterais são diferentes. Logo o limite
não existe. Pela definição de continuidade (Passo 2), se o limite não existe, a função não é contínua em
.
Para decidir sobre removibilidade: uma descontinuidade é removível quando o limite
existe (é finito) mas difere de
. Aqui o limite não existe, então não há nenhum valor que possamos atribuir a
que iguale as duas laterais simultaneamente. Portanto a descontinuidade não é removível (é uma descontinuidade essencial do tipo salto).
Passo 6
Resumo intuitivo: à direita de
a função vale
, à esquerda vale
, no próprio
foi definido
. Como os lados não se encontram num mesmo valor, há um “salto” em
e não se consegue consertar isso mudando só o valor em
.
Resposta
A função não é contínua em
.
A descontinuidade em não é removível.
A descontinuidade em