Em cada um dos exemplos a seguir, verifique se a respectiva função f(x) é contínua no ponto x=x_{0}. Se for o caso da função não ser contínua em x=x_{0}, diga se x_{0} é uma descontinuidade removível.
(1,0 \mathrm{pts}) x_{0}=0 e f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{|x|}, x \neq 0 \\\ \frac{1}{2}, x=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o ponto x_{0}=0\) e a função definida por partes \[f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x}{|x|}, & x\neq 0,\\[6pt] \displaystyle \frac{1}{2}, & x=0. \end{cases}
A tarefa é verificar se f\] é contínua em \(x=0. Se não for contínua, devo dizer se a descontinuidade em x=0 é removível.]

Passo 2

Vou lembrar a definição de continuidade num ponto (de forma bem direta): f é contínua em x_{0} se, e somente se,
\lim_{x\to x_{0}} f(x)
existe (ou seja, as duas limites laterais existem e são iguais) e esse limite é igual a f(x_{0}). Em outras palavras, para x_{0}=0 precisamos que
\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=f(0).
Se as duas limites laterais não coincidirem, o limite \lim_{x\to 0}f(x) não existe e a função não é contínua em 0. A descontinuidade é removível quando o limite existe (finito) mas é diferente do valor dado f(0); nesse caso, mudando f(0) para esse limite a função fica contínua.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão \dfrac{x}{|x|}\) para \(x\neq 0\). Lembre que \[|x|=\begin{cases} x, & x>0,\\\\ -x, & x<0. \end{cases}
Portanto, para x>0\] temos \[\frac{x}{|x|}=\frac{x}{x}=1,\] e para \(x<0 temos
\frac{x}{|x|}=\frac{x}{-x}=-1.
Ou seja, fora de 0 a função toma só os valores 1 (à direita) e -1 (à esquerda).

Passo 4

Calculo os limites laterais em 0.
Limite pela direita:
\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\lim_{x\to 0^{+}} \frac{x}{|x|}=1,
porque para x>0 a função é constantemente 1 numa vizinhança positiva de 0.
Limite pela esquerda:
\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=\lim_{x\to 0^{-}} \frac{x}{|x|}=-1,
porque para x<0 a função é constantemente -1 numa vizinhança negativa de 0.

Passo 5

Como \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=1 e \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=-1, os dois limites laterais são diferentes. Logo o limite \lim_{x\to 0} f(x) não existe. Pela definição de continuidade (Passo 2), se o limite não existe, a função não é contínua em 0.
Para decidir sobre removibilidade: uma descontinuidade é removível quando o limite \lim_{x\to 0}f(x) existe (é finito) mas difere de f(0). Aqui o limite não existe, então não há nenhum valor que possamos atribuir a f(0) que iguale as duas laterais simultaneamente. Portanto a descontinuidade não é removível (é uma descontinuidade essencial do tipo salto).

Passo 6

Resumo intuitivo: à direita de 0 a função vale 1, à esquerda vale -1, no próprio 0 foi definido 1/2. Como os lados não se encontram num mesmo valor, há um “salto” em 0 e não se consegue consertar isso mudando só o valor em 0.

Resposta

A função não é contínua em x=0.
A descontinuidade em x=0 não é removível.

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