Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os valores máximo e mínimo absolutos dessa função (ou seja, se existe um maior valor global e um menor valor global que
atinge em
). Informações relevantes: a função está definida para todos os pares
e não foi dada região restrita — portanto procuramos extremos globais em
.
Passo 2
Procuramos pontos críticos calculando o gradiente e igualando a zero. Lembre que o gradiente é o vetor das derivadas parciais e um ponto crítico é onde esse vetor é o vetor nulo.
As derivadas parciais são
Igualando ao vetor nulo:
Da segunda equação segue
Substituindo na primeira:
Portanto há um ponto crítico em
.
Passo 3
Avalio a função no ponto crítico para saber o valor ali:
Então o valor em
é
.
Passo 4
Vamos classificar o ponto crítico usando a matriz Hessiana. Lembre: a Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais; para uma função de duas variáveis
Calcule as segundas derivadas:
Logo a Hessiana é
Para matrizes
simétricas, um critério simples: se o primeiro menor principal
for positivo e o determinante
for negativo, então a Hessiana é indefinida e o ponto é sela (nem máximo nem mínimo). Aqui
Portanto a Hessiana é indefinida e
é um ponto de sela (saddle point) — isto é, não é nem máximo absoluto nem mínimo absoluto.]
Passo 5
Mesmo sabendo que
é sela, precisamos decidir se existe algum máximo ou mínimo global em
. Uma forma prática é mostrar que
pode assumir valores arbitrariamente grandes positivos e arbitrariamente grandes negativos (ou seja, não é limitada acima ou não é limitada abaixo).
Para ver que
é ilimitada acima (não tem máximo absoluto), fixe
. Então
Como
cresce sem limite quando
, temos
quando
. Logo
não tem máximo absoluto (podemos obter valores tão grandes quanto quisermos).
Passo 6
Para ver que
é ilimitada abaixo (não tem mínimo absoluto), escolha a reta
. Substituindo
em
dá
Quando
a expressão
, então
. Portanto
não tem mínimo absoluto (podemos obter valores tão negativos quanto quisermos).
Passo 7
Conclusão: existe um único ponto crítico
com valor
, mas é um ponto de sela. Mostramos explicitamente que
tende a
em algumas direções e a
em outras, portanto não há máximo absoluto nem mínimo absoluto para
em
.
Resposta
Não existe máximo absoluto.
Não existe mínimo absoluto.
Não existe mínimo absoluto.