Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função
f(x, y)=x^{2}-2 x y+2 y

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}-2xy+2y
e pede os valores máximo e mínimo absolutos dessa função (ou seja, se existe um maior valor global e um menor valor global que f atinge em \mathbb{R}^2). Informações relevantes: a função está definida para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^2 e não foi dada região restrita — portanto procuramos extremos globais em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Procuramos pontos críticos calculando o gradiente e igualando a zero. Lembre que o gradiente é o vetor das derivadas parciais e um ponto crítico é onde esse vetor é o vetor nulo.
As derivadas parciais são
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-2y,
\frac{\partial f}{\partial y}=-2x+2.
Igualando ao vetor nulo:
2x-2y=0,
-2x+2=0.
Da segunda equação segue
-2x+2=0 \implies x=1.
Substituindo na primeira:
2\cdot1-2y=0 \implies 2-2y=0 \implies y=1.
Portanto há um ponto crítico em (1,1).

Passo 3

Avalio a função no ponto crítico para saber o valor ali:
f(1,1)=1^{2}-2\cdot1\cdot1+2\cdot1=1-2+2=1.
Então o valor em (1,1) é 1.

Passo 4

Vamos classificar o ponto crítico usando a matriz Hessiana. Lembre: a Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais; para uma função de duas variáveis
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}.
Calcule as segundas derivadas:
f_{xx}=2,\qquad f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(2x-2y)=-2,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(-2x+2)=0.
Logo a Hessiana é
H=\begin{pmatrix}2 & -2\\[4pt]-2 & 0\end{pmatrix}.
Para matrizes 2\times2 simétricas, um critério simples: se o primeiro menor principal D_1=f_{xx} for positivo e o determinante \det H for negativo, então a Hessiana é indefinida e o ponto é sela (nem máximo nem mínimo). Aqui
D_1=2>0,
\det H = 2\cdot 0 - (-2)^2 = -4 <0.
Portanto a Hessiana é indefinida e (1,1) é um ponto de sela (saddle point) — isto é, não é nem máximo absoluto nem mínimo absoluto.]

Passo 5

Mesmo sabendo que (1,1) é sela, precisamos decidir se existe algum máximo ou mínimo global em \mathbb{R}^2. Uma forma prática é mostrar que f pode assumir valores arbitrariamente grandes positivos e arbitrariamente grandes negativos (ou seja, não é limitada acima ou não é limitada abaixo).
Para ver que f é ilimitada acima (não tem máximo absoluto), fixe y=1. Então
f(x,1)=x^{2}-2x\cdot1+2\cdot1 = x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1.
Como (x-1)^{2} cresce sem limite quando |x|\to\infty, temos f(x,1)\to+\infty quando |x|\to\infty. Logo f não tem máximo absoluto (podemos obter valores tão grandes quanto quisermos).

Passo 6

Para ver que f é ilimitada abaixo (não tem mínimo absoluto), escolha a reta x=y. Substituindo x=y em f
f(y,y)=y^{2}-2y\cdot y+2y = -y^{2}+2y = 1-(y-1)^{2}.
Quando |y|\to\infty a expressão -(y-1)^{2}\to -\infty, então f(y,y)\to -\infty. Portanto f não tem mínimo absoluto (podemos obter valores tão negativos quanto quisermos).

Passo 7

Conclusão: existe um único ponto crítico (1,1) com valor f(1,1)=1, mas é um ponto de sela. Mostramos explicitamente que f tende a +\infty em algumas direções e a -\infty em outras, portanto não há máximo absoluto nem mínimo absoluto para f em \mathbb{R}^2.

Resposta

Não existe máximo absoluto.
Não existe mínimo absoluto.

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