Encontre os pontos críticos de
f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}\right) e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
f(x,y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)e^{-x}.
Informações dadas:
\text{função }f(x,y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)e^{-x}.çã
Pergunta principal: quais são os pontos críticos (ou seja, todos os pontos (x,y) onde o gradiente de f é o vetor nulo)?

Passo 2

O que é um ponto crítico? Vou explicar passo a passo, sem presumir que você já sabe. Um ponto (x_0,y_0) é crítico se as derivadas parciais primeiras se anulam ali:
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0\quad\text{e}\quad\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0.
Essas duas equações formam o sistema \nabla f(x,y)=\mathbf{0}. Vamos calcular as derivadas parciais e resolver esse sistema.

Passo 3

Calcular \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}. Use regra do produto: se f=(x^2+y^2)\cdot e^{-x}, então
  • derive em relação a x: a derivada de x^2+y^2 é 2x; a derivada de e^{-x} é -e^{-x}. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}=2x\cdot e^{-x} + (x^2+y^2)\cdot(-e^{-x}).
Fatorando e^{-x} obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{-x}\bigl(2x - x^{2} - y^{2}\bigr).
  • derive em relação a y: x^2 é constante, derivada de y^2 é 2y, e e^{-x} é constante em y. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}=2y\cdot e^{-x}.

Passo 4

Montar o sistema \nabla f=\mathbf{0}. Igualando as derivadas a zero:
e^{-x}\bigl(2x - x^{2} - y^{2}\bigr)=0,
2y\cdot e^{-x}=0.
Observação útil: e^{-x}>0 para todo x, nunca é zero. Então podemos dividir as duas equações por e^{-x} e obter o sistema simplificado:
2x - x^{2} - y^{2}=0,
2y=0.

Passo 5

Resolver o sistema simplificado. Da segunda equação vem imediatamente
y=0.
Substituindo em 2x - x^{2} - y^{2}=0 com y=0 obtemos
2x - x^{2}=0.
Fatorando:
x(2 - x)=0.
Portanto
x=0\quad\text{ou}\quad x=2.
Assim os pontos críticos são (0,0) e (2,0).

Passo 6

Agora eu vou mostrar como classificar esses pontos (mínimo, máximo ou sela) usando a matriz Hessiana — é um teste padrão que você costuma ver na prova. Primeiro, calcule as segundas derivadas:
Temos já
f_x=e^{-x}\bigl(2x - x^{2} - y^{2}\bigr),\qquad f_y=2y\,e^{-x}.
Calcule f_{xx}, f_{xy}, f_{yy}:
  • Para f_{xx}: derive f_x em relação a x. Aplicando a regra do produto em e^{-x} e em (2x-x^2-y^2) chega-se a
f_{xx}=e^{-x}\bigl(x^{2}+y^{2}-4x+2\bigr).
(Se quiser conferir: derivada de e^{-x} é -e^{-x}, e derivada de 2x-x^{2}-y^{2} em x é 2-2x; combinar dá a expressão acima.)
  • Para f_{xy}: derive f_x em relação a y:
f_{xy}=-2y\,e^{-x}.
  • Para f_{yy}: derive f_y em relação a y:
f_{yy}=2\,e^{-x}.
A matriz Hessiana é
H_f(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[4pt] f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix}.
O teste das segundas derivadas em duas variáveis diz: avaliar o determinante D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2} no ponto crítico. Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local; se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local; se D<0 então ponto de sela.]

Passo 7

Aplicar o teste em (0,0). Primeiro calcule e^{-x} em x=0: e^{0}=1.
  • f_{xx}(0,0)=1\cdot(0+0-0+2)=2.
  • f_{xy}(0,0)=-2\cdot 0\cdot 1=0.
  • f_{yy}(0,0)=2\cdot 1=2.
    Determinante:
D(0,0)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=2\cdot 2 - 0^{2}=4>0.
Como D>0 e f_{xx}(0,0)=2>0, concluímos que (0,0) é um mínimo local. Valor da função ali:
f(0,0)=0.

Passo 8

Aplicar o teste em (2,0). Primeiro calcule e^{-x} em x=2: é e^{-2} (positivo).
  • f_{xx}(2,0)=e^{-2}\bigl(4+0-8+2\bigr)=e^{-2}(-2)=-2e^{-2}.
  • f_{xy}(2,0)=-2\cdot 0\cdot e^{-2}=0.
  • f_{yy}(2,0)=2e^{-2}.
    Determinante:
D(2,0)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=(-2e^{-2})(2e^{-2})-0= -4e^{-4}<0.
Como D<0, (2,0) é um ponto de sela (saddle point). Valor da função ali:
f(2,0)=\bigl(2^{2}+0\bigr)e^{-2}=4e^{-2}.

Passo 9

Resumo final: resolvemos \nabla f=\mathbf{0}, achamos dois pontos críticos e os classificamos com o teste da Hessiana. Você já pode aplicar o mesmo passo a passo em provas: (1) calcular parciais primeiras, (2) resolver sistema, (3) calcular segundas derivadas e aplicar o teste.

Resposta

(0,0) é ponto crítico e é mínimo local.
(2,0) é ponto crítico e é ponto de sela.

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