Encontre os pontos críticos de
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
Informações dadas:
Pergunta principal: quais são os pontos críticos (ou seja, todos os pontos
onde o gradiente de
é o vetor nulo)?
Passo 2
O que é um ponto crítico? Vou explicar passo a passo, sem presumir que você já sabe. Um ponto
é crítico se as derivadas parciais primeiras se anulam ali:
Essas duas equações formam o sistema
. Vamos calcular as derivadas parciais e resolver esse sistema.
Passo 3
Calcular
e
. Use regra do produto: se
, então
- derive em relação a
: a derivada de é ; a derivada de é . Logo,
Fatorando
obtemos
- derive em relação a
: é constante, derivada de é , e é constante em . Assim
Passo 4
Montar o sistema
. Igualando as derivadas a zero:
Observação útil:
para todo
, nunca é zero. Então podemos dividir as duas equações por
e obter o sistema simplificado:
Passo 5
Resolver o sistema simplificado. Da segunda equação vem imediatamente
Substituindo em
com
obtemos
Fatorando:
Portanto
Assim os pontos críticos são
e
.
Passo 6
Agora eu vou mostrar como classificar esses pontos (mínimo, máximo ou sela) usando a matriz Hessiana — é um teste padrão que você costuma ver na prova. Primeiro, calcule as segundas derivadas:
Temos já
Temos já
Calcule
:
- Para
: derive em relação a . Aplicando a regra do produto em e em chega-se a
(Se quiser conferir: derivada de
é
, e derivada de
em
é
; combinar dá a expressão acima.)
- Para
: derive em relação a :
- Para
: derive em relação a :
A matriz Hessiana é
O teste das segundas derivadas em duas variáveis diz: avaliar o determinante
no ponto crítico. Se
e
então mínimo local; se
e
então máximo local; se
então ponto de sela.]
Passo 7
Aplicar o teste em
. Primeiro calcule
em
:
.
-
-
-
Determinante:
Como
e
, concluímos que
é um mínimo local. Valor da função ali:
Passo 8
Aplicar o teste em
. Primeiro calcule
em
: é
(positivo).
-
-
-
Determinante:
Como
,
é um ponto de sela (saddle point). Valor da função ali:
Passo 9
Resumo final: resolvemos
, achamos dois pontos críticos e os classificamos com o teste da Hessiana. Você já pode aplicar o mesmo passo a passo em provas: (1) calcular parciais primeiras, (2) resolver sistema, (3) calcular segundas derivadas e aplicar o teste.