Exemplo 13
A interseção do plano x+\frac{1}{2} y+\frac{1}{3} z=0 com a esfera unitária x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 é um círculo. Encontre o ponto nesse círculo com a maior coordenada x.
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies em \mathbb{R}^3\):
\[x+\tfrac{1}{2}y+\tfrac{1}{3}z=0
e
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
Pede: encontrar o ponto da interseção dessas duas superfícies (que é um círculo) que tem a maior coordenada x.\n
Informações relevantes:
Queremos o ponto (x,y,z)\] que satisfaz ambas as equações e maximiza a coordenada \(x.]
Passo 2
Escolha do método: vou usar multiplicadores de Lagrange com duas restrições. Por quê? Porque queremos maximizar a função objetivo simples \,x\, sujeita a duas restrições (esfera e plano). O método dos multiplicadores generalizados é direto: equaciona igualdade entre o gradiente da função objetivo e combinações lineares dos gradientes das restrições, e isso nos leva a um sistema de equações lineares/algebraicas que podemos resolver. Esse método é eficiente aqui e não requer trabalho geométrico extra.
Passo 3
Apresentação do método (aula curta):
Queremos maximizar a função f(x,y,z)=x sujeita às restrições
g_1(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0
e
g_2(x,y,z)=x+\tfrac{1}{2}y+\tfrac{1}{3}z=0.
O princípio dos multiplicadores diz que em um extremo restrito existem escalares \lambda,\mu tais que
\nabla f = \lambda \nabla g_1 + \mu \nabla g_2.
Aqui \nabla indica o vetor gradiente, que reúne as derivadas parciais. Intuição: o gradiente aponta na direção de máxima variação; em um extremo sob restrições ele fica numa combinação das direções normais às superfícies de restrição.
Passo 4
Calcular gradientes e escrever as equações de Lagrange:
Factorizando \dfrac{1}{\lambda} (não nulo porque senão as equações anteriores não fariam sentido), e multiplicando ambos os lados por 72\lambda para eliminar denominadores: