Exemplo 13
A interseção do plano x+\frac{1}{2} y+\frac{1}{3} z=0 com a esfera unitária x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 é um círculo. Encontre o ponto nesse círculo com a maior coordenada x.

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies em \mathbb{R}^3\): \[x+\tfrac{1}{2}y+\tfrac{1}{3}z=0
e
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
Pede: encontrar o ponto da interseção dessas duas superfícies (que é um círculo) que tem a maior coordenada x.\n
Informações relevantes:
\begin{cases} \text{plano: } & x+\tfrac{1}{2}y+\tfrac{1}{3}z=0,\\[4pt] \text{esfera unitária: } & x^{2}+y^{2}+z^{2}=1. \end{cases}á
Queremos o ponto (x,y,z)\] que satisfaz ambas as equações e maximiza a coordenada \(x.]

Passo 2

Escolha do método: vou usar multiplicadores de Lagrange com duas restrições. Por quê? Porque queremos maximizar a função objetivo simples \,x\, sujeita a duas restrições (esfera e plano). O método dos multiplicadores generalizados é direto: equaciona igualdade entre o gradiente da função objetivo e combinações lineares dos gradientes das restrições, e isso nos leva a um sistema de equações lineares/algebraicas que podemos resolver. Esse método é eficiente aqui e não requer trabalho geométrico extra.

Passo 3

Apresentação do método (aula curta):
  • Queremos maximizar a função f(x,y,z)=x sujeita às restrições
g_1(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0
e
g_2(x,y,z)=x+\tfrac{1}{2}y+\tfrac{1}{3}z=0.
  • O princípio dos multiplicadores diz que em um extremo restrito existem escalares \lambda,\mu tais que
\nabla f = \lambda \nabla g_1 + \mu \nabla g_2.
  • Aqui \nabla indica o vetor gradiente, que reúne as derivadas parciais. Intuição: o gradiente aponta na direção de máxima variação; em um extremo sob restrições ele fica numa combinação das direções normais às superfícies de restrição.

Passo 4

Calcular gradientes e escrever as equações de Lagrange:
\nabla f=(1,0,0), \qquad \nabla g_1=(2x,2y,2z), \qquad \nabla g_2=\Bigl(1,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}\Bigr).
Aplicando \nabla f = \lambda \nabla g_1 + \mu \nabla g_2 obtemos o sistema
\begin{cases} 1=2\lambda x+\mu,\\[4pt] 0=2\lambda y+\tfrac{\mu}{2},\\[4pt] 0=2\lambda z+\tfrac{\mu}{3}, \end{cases}
juntamente com as restrições
\begin{cases} x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\\[4pt] x+\tfrac{1}{2}y+\tfrac{1}{3}z=0. \end{cases}]

Passo 5

Resolver as duas primeiras equações (as que envolvem y e z) em função de \lambda e \mu:
Da segunda equação:
0=2\lambda y+\tfrac{\mu}{2}\quad\Rightarrow\quad y=-\dfrac{\mu}{4\lambda}.
Da terceira:
0=2\lambda z+\tfrac{\mu}{3}\quad\Rightarrow\quad z=-\dfrac{\mu}{6\lambda}.

Passo 6

Resolver a primeira equação para x:
1=2\lambda x+\mu\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{1-\mu}{2\lambda}.

Passo 7

Substituir x,y,z na equação do plano x+\tfrac{1}{2}y+\tfrac{1}{3}z=0 para obter uma equação só em \lambda e \mu:
\dfrac{1-\mu}{2\lambda}+\tfrac{1}{2}\left(-\dfrac{\mu}{4\lambda}\right)+\tfrac{1}{3}\left(-\dfrac{\mu}{6\lambda}\right)=0.
Factorizando \dfrac{1}{\lambda} (não nulo porque senão as equações anteriores não fariam sentido), e multiplicando ambos os lados por 72\lambda para eliminar denominadores:
72\lambda\left(\dfrac{1-\mu}{2\lambda}-\dfrac{\mu}{8\lambda}-\dfrac{\mu}{18\lambda}\right)=0
\Rightarrow 36(1-\mu)-9\mu-4\mu=0.
Agora simplificando:
36-36\mu-9\mu-4\mu=0\quad\Rightarrow\quad 36-49\mu=0.

Passo 8

Da última igualdade segue
\mu=\dfrac{36}{49}.

Passo 9

Substituir \mu nas expressões de x,y,z em função de \lambda:
x=\dfrac{1-\mu}{2\lambda}=\dfrac{1-\tfrac{36}{49}}{2\lambda}=\dfrac{\tfrac{13}{49}}{2\lambda}=\dfrac{13}{98}\cdot\dfrac{1}{\lambda},
y=-\dfrac{\mu}{4\lambda}=-\dfrac{\tfrac{36}{49}}{4\lambda}=-\dfrac{9}{49}\cdot\dfrac{1}{\lambda},
z=-\dfrac{\mu}{6\lambda}=-\dfrac{\tfrac{36}{49}}{6\lambda}=-\dfrac{6}{49}\cdot\dfrac{1}{\lambda}.

Passo 10

Usar a restrição da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 para determinar \lambda. Substituindo as expressões:
\left(\dfrac{13}{98}\cdot\dfrac{1}{\lambda}\right)^{2}+\left(-\dfrac{9}{49}\cdot\dfrac{1}{\lambda}\right)^{2}+\left(-\dfrac{6}{49}\cdot\dfrac{1}{\lambda}\right)^{2}=1.
Fatorando \dfrac{1}{\lambda^{2}}:
\dfrac{1}{\lambda^{2}}\left(\dfrac{169}{9604}+\dfrac{81}{2401}+\dfrac{36}{2401}\right)=1.
Calcular a soma dentro do parênteses. Observando que 9604=2401\cdot 4, escrevemos:
\dfrac{81}{2401}+\dfrac{36}{2401}=\dfrac{117}{2401}=\dfrac{468}{9604}.
Então a soma é
\dfrac{169}{9604}+\dfrac{468}{9604}=\dfrac{637}{9604}.
Logo
\dfrac{1}{\lambda^{2}}\cdot\dfrac{637}{9604}=1\quad\Rightarrow\quad \dfrac{1}{\lambda^{2}}=\dfrac{9604}{637}.
Como queremos o ponto que maximiza x e x=\dfrac{13}{98}\cdot\dfrac{1}{\lambda}, escolhemos o sinal positivo para \dfrac{1}{\lambda}. Assim
\dfrac{1}{\lambda}=\sqrt{\dfrac{9604}{637}}=\dfrac{98}{\sqrt{637}}.

Passo 11

Calcular as coordenadas finais substituindo \dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{98}{\sqrt{637}}:
x=\dfrac{13}{98}\cdot\dfrac{98}{\sqrt{637}}=\dfrac{13}{\sqrt{637}},
y=-\dfrac{9}{49}\cdot\dfrac{98}{\sqrt{637}}=-\dfrac{9\cdot 2}{\sqrt{637}}=-\dfrac{18}{\sqrt{637}},
z=-\dfrac{6}{49}\cdot\dfrac{98}{\sqrt{637}}=-\dfrac{6\cdot 2}{\sqrt{637}}=-\dfrac{12}{\sqrt{637}}.
Pode-se verificar rapidamente que esse ponto satisfaz o plano porque
x+\tfrac{1}{2}y+\tfrac{1}{3}z=\dfrac{13}{\sqrt{637}}-\dfrac{9}{\sqrt{637}}-\dfrac{4}{\sqrt{637}}=0,
e satisfaz a esfera porque já impusemos x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 para determinar \lambda.

Resposta

\displaystyle \left(\dfrac{13}{\sqrt{637}},-\dfrac{18}{\sqrt{637}},-\dfrac{12}{\sqrt{637}}\right)

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