Determine os valores máximo e mínimo da função f(x)=2 sen^2 x+5 cos ^2 x.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores máximo e mínimo da função f(x)=2 sen²x+5 cos²x. O conteúdo é estudo de funções trigonométricas e vamos precisar usar a identidade fundamental sen²x+cos²x=1 e o fato de que sen²x varia entre 0 e 1.

Passo 2

Usando a identidade sen²x+cos²x=1, escrevemos cos²x=1−sen²x. Assim,
f(x)=2,sin^2x+5,(1-sin^2x)
Simplificando, obtemos
f(x)=2,sin^2x+5-5,sin^2x=5-3,sin^2x

Passo 3

Como para todo x vale 0≤sen²x≤1, f(x)=5−3 sen²x atinge valor máximo quando sen²x for mínimo (0) e mínimo quando sen²x for máximo (1).
Substituindo os extremos de sen²x: para sen²x=0, f=5−3·0=5; para sen²x=1, f=5−3·1=2.

Resposta

Valor máximo = 5; Valor mínimo = 2.

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