Utilize integração de funções racionais por frações parciais para resolver as integrais.
integral x+1x(x-1) d x

Passo 1

Vamos integrar a função racional x+1x(x-1) usando frações parciais. O conteúdo aqui é decompor a função em termos mais simples para depois integrar cada parte separadamente.

Passo 2

Queremos escrever x+1x(x-1) como soma de termos do tipo Ax+Bx-1. Ou seja, assumimos
x+1x(x-1) = Ax + Bx-1
Depois, vamos determinar A e B.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x(x-1):
x+1 = A(x-1) + Bx = Ax - A + Bx = (A+B)x - A
Comparando coeficientes de x e termos constantes, obtemos o sistema:
A + B = 1, - A = 1
Da segunda equação vem A = -1 e, então, B = 1 - A = 1 - (-1) = 2.

Passo 4

Substituindo na decomposição, temos
x+1x(x-1) = -1x + 2x-1
Agora integramos termo a termo:
integral -1x,dx + 2integral 1x-1,dx = -ln|x| + 2ln|x-1| + C

Resposta

-\ln|x| + 2\ln|x-1| + C

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