Determine os valores de máximo e mínimo locais, e os pontos de sela de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede: determinar os pontos críticos e classificar quais são máximos locais, mínimos locais e pontos de sela.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função está definida para todo par real
. - Precisamos encontrar pontos onde o gradiente é nulo (pontos críticos) e usar a matriz Hessiana para classificar cada um.
Passo 2
Primeiro passo da resolução: calcular as derivadas parciais (com respeito a
e a
) e montar o sistema
. Lembre que:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (trata-se de produto onde é visto como constante ao derivar em ).
Assim:
Pontos críticos satisfazem
ou simplificando (dividindo por
):
Passo 3
Resolver o sistema
e
. Substituímos
na segunda equação:
Isto dá
As soluções reais são
ou
. Como
implica
(as outras raízes são complexas), temos as possíveis abscissas reais
. Para cada uma:
- Se
então . - Se
então . - Se
então .
Logo, os pontos críticos reais são
Passo 4
Agora classificamos os pontos usando a matriz Hessiana. Recordando:
- A Hessiana em duas variáveis é a matriz das segundas derivadas parciais:
- A segunda derivada test:
. - Se
e então é mínimo local. - Se
e então é máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
- Se
Calculemos as segundas derivadas (usando que a derivada de
é
, etc.):
Assim a determinante da Hessiana é
Passo 5
Avaliar
e
em cada ponto crítico:
-
No ponto
: Como, é ponto de sela. -
No ponto
: eEntãoé um mínimo local. -
No ponto
: eEntãoé também um mínimo local.
Não houve ponto crítico com
e
, logo não existem máximos locais entre os pontos críticos (e como máximos locais só podem ocorrer em pontos críticos, concluímos que não há máximos locais).
Passo 6
Calcular os valores da função nesses pontos (útil para comparação e para ver se os mínimos são globais):
Portanto os mínimos locais têm valor
e o ponto de sela tem valor
.
Passo 7
Podemos ainda mostrar que os mínimos locais em
e
são na verdade mínimos globais. Uma maneira curta e elegante:
Pelo desigualdade AM–GM para números não negativos,
. Assim
Agrupando em termos de
:
Logo
para todo
, com igualdade exatamente quando
e também quando a desigualdade AM–GM é de igualdade, o que exige
. Essas condições juntas só ocorrem em
e em
. Portanto esses dois pontos são mínimos globais (além de locais).
Resposta
Mínimos locais (e globais):
e
com
Máximos locais: não existem
Pontos de sela: com
Máximos locais: não existem
Pontos de sela: