Determine os valores de máximo e mínimo locais, e os pontos de sela de f(x, y)= x^{4}+y^{4}-4 x y+6.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^{4}+y^{4}-4xy+6
e pede: determinar os pontos críticos e classificar quais são máximos locais, mínimos locais e pontos de sela.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida para todo par real (x,y).
  • Precisamos encontrar pontos onde o gradiente é nulo (pontos críticos) e usar a matriz Hessiana para classificar cada um.

Passo 2

Primeiro passo da resolução: calcular as derivadas parciais (com respeito a x e a y) e montar o sistema \nabla f=0. Lembre que:
  • A derivada de x^{4} em relação a x é 4x^{3}.
  • A derivada de -4xy em relação a x é -4y (trata-se de produto onde y é visto como constante ao derivar em x).
Assim:
\frac{\partial f}{\partial x}=4x^{3}-4y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=4y^{3}-4x.
Pontos críticos satisfazem
4x^{3}-4y=0,\qquad 4y^{3}-4x=0,
ou simplificando (dividindo por 4):
x^{3}=y,\qquad y^{3}=x.

Passo 3

Resolver o sistema x^{3}=y e y^{3}=x. Substituímos y=x^{3} na segunda equação:
(x^{3})^{3}=x \quad\Rightarrow\quad x^{9}=x.
Isto dá
x^{9}-x=0\quad\Rightarrow\quad x(x^{8}-1)=0.
As soluções reais são x=0 ou x^{8}=1. Como x^{8}=1 implica x=\pm1 (as outras raízes são complexas), temos as possíveis abscissas reais x\in\{0,1,-1\}. Para cada uma:
  • Se x=0 então y=x^{3}=0.
  • Se x=1 então y=1^{3}=1.
  • Se x=-1 então y=(-1)^{3}=-1.
Logo, os pontos críticos reais são
(0,0),\qquad (1,1),\qquad (-1,-1).

Passo 4

Agora classificamos os pontos usando a matriz Hessiana. Recordando:
  • A Hessiana em duas variáveis é a matriz das segundas derivadas parciais:
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}.
  • A segunda derivada test: D = \det H = f_{xx}f_{yy}- (f_{xy})^{2}.
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então é mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo local.
    • Se D<0 então é ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Calculemos as segundas derivadas (usando que a derivada de 4x^{3} é 12x^{2}, etc.):
f_{xx}=12x^{2},\qquad f_{yy}=12y^{2},\qquad f_{xy}=f_{yx}=-4.
Assim a determinante da Hessiana é
D(x,y)=12x^{2}\cdot 12y^{2}-(-4)^{2}=144x^{2}y^{2}-16=16\bigl(9x^{2}y^{2}-1\bigr).]

Passo 5

Avaliar D e f_{xx} em cada ponto crítico:
  • No ponto (0,0):
    D(0,0)=16(9\cdot0^{2}\cdot0^{2}-1)=16( -1)=-16<0.
    Como D<0, (0,0) é ponto de sela.
  • No ponto (1,1):
    D(1,1)=16(9\cdot1^{2}\cdot1^{2}-1)=16(9-1)=16\cdot8=128>0,
    e
    f_{xx}(1,1)=12\cdot1^{2}=12>0.
    Então (1,1) é um mínimo local.
  • No ponto (-1,-1):
    D(-1,-1)=16(9\cdot(-1)^{2}\cdot(-1)^{2}-1)=128>0,
    e
    f_{xx}(-1,-1)=12\cdot(-1)^{2}=12>0.
    Então (-1,-1) é também um mínimo local.
Não houve ponto crítico com f_{xx}<0 e D>0, logo não existem máximos locais entre os pontos críticos (e como máximos locais só podem ocorrer em pontos críticos, concluímos que não há máximos locais).

Passo 6

Calcular os valores da função nesses pontos (útil para comparação e para ver se os mínimos são globais):
f(0,0)=0^{4}+0^{4}-4\cdot0\cdot0+6=6,
f(1,1)=1+1-4+6=4,
f(-1,-1)=1+1-4+6=4.
Portanto os mínimos locais têm valor f=4 e o ponto de sela tem valor 6.

Passo 7

Podemos ainda mostrar que os mínimos locais em (1,1) e (-1,-1) são na verdade mínimos globais. Uma maneira curta e elegante:
Pelo desigualdade AM–GM para números não negativos, x^{4}+y^{4}\ge 2x^{2}y^{2}. Assim
f(x,y)=x^{4}+y^{4}-4xy+6 \ge 2x^{2}y^{2}-4xy+6.
Agrupando em termos de t=xy:
2x^{2}y^{2}-4xy+6=2t^{2}-4t+6=2\bigl(t^{2}-2t+3\bigr) =2\bigl((t-1)^{2}+2\bigr)=2(t-1)^{2}+4\ge 4.
Logo f(x,y)\ge 4 para todo (x,y), com igualdade exatamente quando t=xy=1 e também quando a desigualdade AM–GM é de igualdade, o que exige |x|=|y|. Essas condições juntas só ocorrem em (1,1) e em (-1,-1). Portanto esses dois pontos são mínimos globais (além de locais).

Resposta

Mínimos locais (e globais): (1,1) e (-1,-1) com f(1,1)=f(-1,-1)=4
Máximos locais: não existem
Pontos de sela: (0,0) com f(0,0)=6

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