(a)
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma expressão de limite:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites envolvendo duas variáveis,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de funções de múltiplas variáveis e a propriedade dos logaritmos naturais (
).
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Observe que quando
e
, a soma
se aproxima de 1. Então, podemos fazer uma substituição para facilitar:
Vamos chamar
. Assim, quando
, temos
.
Substituindo na expressão original, temos:
Agora, nosso limite fica:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o limite
. Para isso, vamos usar uma técnica chamada Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como
ou
.
Primeiro, verificamos que quando
, tanto o numerador (
) quanto o denominador (
) tendem a 0. Então, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que:
desde que o limite à direita exista.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
Resposta
O limite
é igual a 1.