(a) \lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \frac{x+y-1}{\ln (x+y)}

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma expressão de limite:
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \frac{x+y-1}{\ln (x+y)}
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites envolvendo duas variáveis, x e y. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de funções de múltiplas variáveis e a propriedade dos logaritmos naturais ( \ln).

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Observe que quando x \rightarrow 1 e y \rightarrow 0, a soma x + y se aproxima de 1. Então, podemos fazer uma substituição para facilitar:
Vamos chamar t = x + y - 1. Assim, quando (x, y) \rightarrow (1, 0), temos t \rightarrow 0.
Substituindo na expressão original, temos:
\frac{t}{\ln (1 + t)}
Agora, nosso limite fica:
\lim_{t \to 0} \frac{t}{\ln (1 + t)}

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite \lim_{t \to 0} \frac{t}{\ln (1 + t)}. Para isso, vamos usar uma técnica chamada Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty}.
Primeiro, verificamos que quando t \to 0, tanto o numerador ( t) quanto o denominador ( \ln(1 + t)) tendem a 0. Então, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que:
\lim_{t \to 0} \frac{f(t)}{g(t)} = \lim_{t \to 0} \frac{f'(t)}{g'(t)}
desde que o limite à direita exista.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de f(t) = t e g(t) = \ln(1 + t):
f'(t) = 1
g'(t) = \frac{1}{1 + t}
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
\lim_{t \to 0} \frac{t}{\ln(1 + t)} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{1}{1 + t}} = \lim_{t \to 0} (1 + t) = 1

Resposta

O limite \lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \frac{x+y-1}{\ln (x+y)} é igual a 1.

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