Seja f(x, y)=x^2+y.
Calcule a derivada direcional da função f(x, y)=x^2+y na direção u=(1,0), u=(0,1) e u=(1,1), no ponto (1,1), respectivamente.

Passo 1

O enunciado quer calcular a derivada direcional de f(x,y)=x^2+y no ponto (1,1) em três direções: vec u=(1,0), vec u=(0,1) e vec u=(1,1). O conteúdo envolvido é derivada direcional, e vamos precisar do gradiente de f e dos vetores unitários nas direções dadas.

Passo 2

Para derivada direcional, a teoria diz que
Dvec uf(x,y)=nabla f(x,y)cdotvec u
Então calculamos o gradiente de f:
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,partial fpartial yr)=(2x,1)
Avaliando em (1,1), temos
nabla f(1,1)=(2,1)

Passo 3

Na direção vec u=(1,0), já é um vetor unitário. Então
D(1,0)f(1,1)=nabla f(1,1)cdot(1,0)=2cdot1+1cdot0=2

Passo 4

Na direção vec u=(0,1), também é unitário. Assim
D(0,1)f(1,1)=nabla f(1,1)cdot(0,1)=2cdot0+1cdot1=1

Passo 5

Na direção vec u=(1,1), o vetor não é unitário, então normalizamos:
vec urm unit=l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)
Assim
D(1,1)f(1,1)=nabla f(1,1)cdotvec urm unit=2cdottfrac1raiz2+1cdottfrac1raiz2=tfrac3raiz2

Resposta

D(1,0)f(1,1)=2,;D(0,1)f(1,1)=1,;D(1,1)f(1,1)=tfrac3raiz2

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