Integração por partes
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é
. Queremos uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função, que deve ser expressa com uma constante de integração
.
Passo 2
Vamos usar a fórmula da integração por partes. Essa fórmula é útil quando a integranda é um produto de duas funções, uma das quais fica mais simples quando derivada. A fórmula é
Aqui:
-
é uma função que vamos derivar para obter , -
é a parte que vamos integrar para obter .
Explicando as peças:
significa a derivada de
multiplicada por
(por exemplo, se
então
).
é a antiderivada de
(por exemplo, se
então
). A escolha de
costuma ser uma função polinomial (porque ao derivar ela simplifica) e
uma função fácil de integrar (como
ou
).
Passo 3
Escolhemos as partes para aplicar a fórmula:
Agora calculamos
e
:
Observação: a antiderivada de
é
— isso é uma propriedade básica das exponenciais.
Passo 4
Aplicando a fórmula
com as escolhas acima:
Expliquei: o termo
é
. O integral que sobra é
.
Passo 5
Calculamos a integral restante
e substituímos:
Agora simplificamos fatorando
:
Portanto uma primitiva é
.
Passo 6
Verificação (sempre bom checar na prova): derivando a resposta devemos voltar ao integrando. Usando a regra do produto,
que é exatamente o integrando. A verificação confirma que a primitiva está correta.