Integração por partes
\int(x-1) e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int (x-1)\,e^{x}\,dx.
Informações dadas: a função integranda é (x-1)e^{x}. Queremos uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função, que deve ser expressa com uma constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar a fórmula da integração por partes. Essa fórmula é útil quando a integranda é um produto de duas funções, uma das quais fica mais simples quando derivada. A fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função que vamos derivar para obter du,
  • dv é a parte que vamos integrar para obter v.
Explicando as peças: du significa a derivada de u multiplicada por dx (por exemplo, se u=x então du=dx). v é a antiderivada de dv (por exemplo, se dv=e^{x}dx então v=e^{x}). A escolha de u costuma ser uma função polinomial (porque ao derivar ela simplifica) e dv uma função fácil de integrar (como e^{x}dx ou \sin x\,dx).

Passo 3

Escolhemos as partes para aplicar a fórmula:
u = x-1,\qquad dv = e^{x}\,dx.
Agora calculamos du e v:
du = d(x-1) = dx,
v = \int e^{x}\,dx = e^{x}.
Observação: a antiderivada de e^{x} é e^{x} — isso é uma propriedade básica das exponenciais.

Passo 4

Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du com as escolhas acima:
\int (x-1)e^{x}\,dx = (x-1)e^{x} - \int e^{x}\,dx.
Expliquei: o termo uv é (x-1)\cdot e^{x}. O integral que sobra é \int v\,du = \int e^{x}\,dx.

Passo 5

Calculamos a integral restante \int e^{x}\,dx = e^{x} e substituímos:
\int (x-1)e^{x}\,dx = (x-1)e^{x} - e^{x} + C.
Agora simplificamos fatorando e^{x}:
(x-1)e^{x} - e^{x} = e^{x}\bigl((x-1)-1\bigr) = e^{x}(x-2).
Portanto uma primitiva é e^{x}(x-2)+C.

Passo 6

Verificação (sempre bom checar na prova): derivando a resposta devemos voltar ao integrando. Usando a regra do produto,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}(x-2)\bigr) = e^{x}(x-2) + e^{x}\cdot 1 = e^{x}(x-1),
que é exatamente o integrando. A verificação confirma que a primitiva está correta.

Resposta

e^{x}(x-2)+C

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