Determine os valores máximos e mínimos globais e locais e pontos de sela da função
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
e determinar quais deles são máximos ou mínimos locais, pontos de sela e, em seguida, verificar se existem máximos ou mínimos globais. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais, sistema de equações para pontos críticos e classificação via Hessiana.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeiro e segundo ordem.
A derivada parcial em é
A derivada parcial em
A derivada parcial em
é
Passo 3
Para os pontos críticos, resolvemos
Da primeira equação vem
. Substituindo em
obtemos
porque
. Logo os pontos críticos são
Passo 4
Vamos classificar cada ponto usando o determinante da Hessiana. As segundas derivadas são
Em
:
portanto
é ponto de sela.
Em
:
e como
,
é máximo local.
Não há pontos onde e
, logo não existem mínimos locais.
Não há pontos onde
Passo 5
Analisando o comportamento assintótico, vemos que
– para com
,
,
– para com
fixo,
.
Assim é não limitada acima nem abaixo, não havendo máximos ou mínimos globais.
– para
– para
Assim
Resposta
Pontos críticos e classificação:
– ponto de sela.
– máximo local com valor
Não há mínimos locais.
Não existem máximos ou mínimos globais (função não limitada).
Não há mínimos locais.
Não existem máximos ou mínimos globais (função não limitada).