Determine os valores máximos e mínimos globais e locais e pontos de sela da função f(x, y)=e^{y}\left(y^{2}-x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y)=e^{y}\bigl(y^{2}-x^{2}\bigr)
e determinar quais deles são máximos ou mínimos locais, pontos de sela e, em seguida, verificar se existem máximos ou mínimos globais. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais, sistema de equações para pontos críticos e classificação via Hessiana.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeiro e segundo ordem.
A derivada parcial em x é
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl[e^{y}(y^{2}-x^{2})\bigr] =-2x\,e^{y}.
A derivada parcial em y é
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl[e^{y}(y^{2}-x^{2})\bigr] =e^{y}(y^{2}-x^{2})+e^{y}(2y) =e^{y}\bigl(y^{2}-x^{2}+2y\bigr).

Passo 3

Para os pontos críticos, resolvemos
\begin{cases} f_{x}(x,y)=0,\\\ f_{y}(x,y)=0. \end{cases}
Da primeira equação vem x=0. Substituindo em f_{y}=0 obtemos
e^{y}\bigl(y^{2}+2y\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad y(y+2)=0
porque e^{y}>0. Logo os pontos críticos são
(0,0)\quad\text{e}\quad(0,-2).

Passo 4

Vamos classificar cada ponto usando o determinante da Hessiana. As segundas derivadas são
f_{xx}(x,y)=-2\,e^{y},\quad f_{xy}(x,y)=-2x\,e^{y},\quad f_{yy}(x,y)=e^{y}\bigl(y^{2}-x^{2}+4y+2\bigr).
Em (0,0):
f_{xx}=-2,\quad f_{xy}=0,\quad f_{yy}=2, \quad D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=-2\cdot2<0,
portanto (0,0) é ponto de sela.
Em (0,-2):
f_{xx}=-2e^{-2},\quad f_{xy}=0,\quad f_{yy}=e^{-2}\bigl(4-0-8+2\bigr)=-2e^{-2},
D=(-2e^{-2})(-2e^{-2})=4e^{-4}>0,
e como f_{xx}<0, (0,-2) é máximo local.
Não há pontos onde D>0 e f_{xx}>0, logo não existem mínimos locais.

Passo 5

Analisando o comportamento assintótico, vemos que
– para y\to+\infty com x=0,
\;f(0,y)=e^{y}y^{2}\to+\infty,
– para x\to\infty com y fixo,
\;f(x,y)\approx -x^{2}e^{y}\to-\infty.
Assim f é não limitada acima nem abaixo, não havendo máximos ou mínimos globais.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(0,0) – ponto de sela.
(0,-2) – máximo local com valor
\;f(0,-2)=4e^{-2}.
Não há mínimos locais.
Não existem máximos ou mínimos globais (função não limitada).

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