Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
O que é pedido:
- Determinar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela (se houver).
- (Opcional) traçar o gráfico em 3D com um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes.
Informações relevantes fornecidas:
- A função está definida em todo o plano
(não há restrição de domínio). - Precisamos encontrar pontos críticos (onde derivadas parciais são zero) e classificá-los.
Passo 2
Encontrar os pontos críticos: primeiro calculamos as derivadas parciais de
. Lembrete rápido (fórmulas usadas):
- A derivada parcial de
em relação a , , trata como constante. - A derivada parcial de
em relação a , , trata como constante.
Calculemos:
Aqui
(pois
é constante),
e
. Logo
Agora a derivada parcial em
:
Aqui
,
,
. Logo
Pontos críticos satisfazem o sistema
Passo 3
Resolver o sistema de equações. Comecemos pela segunda equação:
A raiz real é
Substituímos
na primeira equação:
Calculemos os coeficientes:
, então
Isolando
,
Portanto há exatamente um ponto crítico:
.
Passo 4
Classificação do ponto crítico: usamos as segundas derivadas (matriz Hessiana) e o teste das derivadas segundas. Explicação didática do teste:
- Calculam-se as segundas derivadas
, , . - Avalia-se a matriz Hessiana no ponto crítico e o determinante
. - Se
e então mínimo local; se e então máximo local; se então ponto de sela; se o teste é inconclusivo.
Calculemos as segundas derivadas:
Avalie no ponto
:
Calcule o determinante do Hessiano:
Como
, pelo teste das derivadas segundas o ponto
é um ponto de sela.
Passo 5
Interpretação e evidência concreta de sela (para fixar a intuição):
- No ponto
o valor da função é
- Mostramos agora que existem pontos próximos com valores menores e maiores que
, o que caracteriza uma sela.
Exemplo de valor menor (próximo):
Exemplo de valor maior (próximo):
Assim, em torno de
existem direções onde
diminui e outras onde
aumenta — comportamento típico de ponto de sela.
Passo 6
Como traçar o gráfico 3D (instruções práticas): escolher um domínio centrado em
para evidenciar a sela. Sugestão de domínio:
Sugestão de ponto de vista (azimute e elevação) para visualização: azimute
, elevação
(esses termos aplicam-se em softwares como Matplotlib, Mathematica, GeoGebra 3D). Recomendações de visualização:
- Traçar superfície
. - Adicionar curvas de nível (contour) projetadas no plano
constante para ver os níveis que se interceptam na sela. - Destacar o ponto crítico
com uma bola ou marcador. - Ajustar malha (mesh) fina perto do ponto para visualizar variação rápida.
Exemplo rápido de comando em Python/Matplotlib (ideia; não executar aqui):
Isso mostra a sela claramente.
Resposta
Nenhum máximo local.
Nenhum mínimo local.
Ponto de sela: .
Nenhum mínimo local.
Ponto de sela: