Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=x^{3} y+12 x^{2}-8 y

Passo 1

O enunciado nos dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}
f(x,y)=x^{3}y+12x^{2}-8y.
O que é pedido:
  • Determinar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela (se houver).
  • (Opcional) traçar o gráfico em 3D com um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida em todo o plano \mathbb{R}^2 (não há restrição de domínio).
  • Precisamos encontrar pontos críticos (onde derivadas parciais são zero) e classificá-los.

Passo 2

Encontrar os pontos críticos: primeiro calculamos as derivadas parciais de f. Lembrete rápido (fórmulas usadas):
  • A derivada parcial de f em relação a x, \dfrac{\partial f}{\partial x}, trata y como constante.
  • A derivada parcial de f em relação a y, \dfrac{\partial f}{\partial y}, trata x como constante.
Calculemos:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^3y\bigr)+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(12x^2\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(8y\bigr).
Aqui \frac{\partial}{\partial x}(x^3y)=3x^2 y (pois y é constante), \frac{\partial}{\partial x}(12x^2)=24x e \frac{\partial}{\partial x}(8y)=0. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^{2}y+24x.
Agora a derivada parcial em y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^3y\bigr)+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(12x^2\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(8y\bigr).
Aqui \frac{\partial}{\partial y}(x^3y)=x^3, \frac{\partial}{\partial y}(12x^2)=0, \frac{\partial}{\partial y}(8y)=8. Logo
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{3}-8.
Pontos críticos satisfazem o sistema
\begin{cases} 3x^{2}y+24x=0,\\[4pt] x^{3}-8=0. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o sistema de equações. Comecemos pela segunda equação:
x^{3}-8=0\quad\Rightarrow\quad x^{3}=8.
A raiz real é
x=2.
Substituímos x=2 na primeira equação:
3(2)^{2}y+24(2)=0.
Calculemos os coeficientes: (2)^{2}=4, então
3\cdot4\cdot y + 48=0 \quad\Rightarrow\quad 12y+48=0.
Isolando y,
y=-4.
Portanto há exatamente um ponto crítico: \bigl(2,-4\bigr).

Passo 4

Classificação do ponto crítico: usamos as segundas derivadas (matriz Hessiana) e o teste das derivadas segundas. Explicação didática do teste:
  • Calculam-se as segundas derivadas f_{xx}, f_{xy}=f_{yx}, f_{yy}.
  • Avalia-se a matriz Hessiana no ponto crítico e o determinante D=f_{xx}f_{yy}- (f_{xy})^{2}.
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local; se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local; se D<0 então ponto de sela; se D=0 o teste é inconclusivo.
Calculemos as segundas derivadas:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y+24x\bigr)=6xy+24,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y+24x\bigr)=3x^{2},
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}-8\bigr)=0.
Avalie no ponto \bigl(2,-4\bigr):
f_{xx}(2,-4)=6\cdot2\cdot(-4)+24=-48+24=-24,
f_{xy}(2,-4)=3\cdot(2)^{2}=3\cdot4=12,
f_{yy}(2,-4)=0.
Calcule o determinante do Hessiano:
D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}=(-24)\cdot 0 - 12^{2} = -144.
Como D=-144<0, pelo teste das derivadas segundas o ponto \bigl(2,-4\bigr) é um ponto de sela.

Passo 5

Interpretação e evidência concreta de sela (para fixar a intuição):
  • No ponto \bigl(2,-4\bigr) o valor da função é
f(2,-4)=2^{3}(-4)+12\cdot2^{2}-8(-4)=8(-4)+48+32=-32+48+32=48.
  • Mostramos agora que existem pontos próximos com valores menores e maiores que 48, o que caracteriza uma sela.
Exemplo de valor menor (próximo):
f(3,-4)=3^{3}(-4)+12\cdot3^{2}-8(-4)=27(-4)+108+32=-108+108+32=32<48.
Exemplo de valor maior (próximo):
f(3,-3)=27(-3)+108+24=-81+108+24=51>48.
Assim, em torno de (2,-4) existem direções onde f diminui e outras onde f aumenta — comportamento típico de ponto de sela.

Passo 6

Como traçar o gráfico 3D (instruções práticas): escolher um domínio centrado em (2,-4) para evidenciar a sela. Sugestão de domínio:
x\in[-1,4],\qquad y\in[-6,0].
Sugestão de ponto de vista (azimute e elevação) para visualização: azimute 45^\circ, elevação 30^\circ (esses termos aplicam-se em softwares como Matplotlib, Mathematica, GeoGebra 3D). Recomendações de visualização:
  • Traçar superfície z=f(x,y).
  • Adicionar curvas de nível (contour) projetadas no plano z= constante para ver os níveis que se interceptam na sela.
  • Destacar o ponto crítico (2,-4,48) com uma bola ou marcador.
  • Ajustar malha (mesh) fina perto do ponto para visualizar variação rápida.
Exemplo rápido de comando em Python/Matplotlib (ideia; não executar aqui):
\text{(usar numpy e mpl_toolkits.mplot3d, definir X,Y via meshgrid no domínio sugerido, Z = X**3*Y + 12*X**2 - 8*Y, plot\_surface, view\_init(elev=30, azim=45))}í
Isso mostra a sela claramente.

Resposta

Nenhum máximo local.
Nenhum mínimo local.
Ponto de sela: (2,-4).

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