Calcule as integrais através da decomposição em frações parciais:
f(x)=\frac{2 x^{3}}{x^{4}+18 x^{2}+81}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral da função por decomposição em frações parciais. Dados:
  • A função a integrar é f(x)=\dfrac{2x^{3}}{x^{4}+18x^{2}+81}.
    O objetivo é encontrar \displaystyle \int \dfrac{2x^{3}}{x^{4}+18x^{2}+81}\,dx usando decomposição em frações parciais e mostrar todos os passos didaticamente.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão do denominador e perceber a estrutura que vai determinar o tipo de decomposição em frações parciais.
Observe o denominador:
x^{4}+18x^{2}+81 = (x^{2}+9)^{2},
pois (x^{2}+9)^{2} = x^{4}+2\cdot9x^{2}+9^{2}=x^{4}+18x^{2}+81.
Portanto a integranda é
\frac{2x^{3}}{(x^{2}+9)^{2}}.
Como o denominador é um quadrado de uma quadrática irreducível ( x^{2}+9 não tem raízes reais), a forma geral da decomposição em frações parciais para uma razão com esse denominador repetido é:
\frac{2x^{3}}{(x^{2}+9)^{2}}=\frac{Ax+B}{x^{2}+9}+\frac{Cx+D}{(x^{2}+9)^{2}}.
Explico: para um fator quadrático irreduzível x^{2}+9 elevado à potência 2, deve-se incluir termos do tipo \dfrac{Ax+B}{x^{2}+9} e \dfrac{Cx+D}{(x^{2}+9)^{2}}. As letras A,B,C,D são constantes a determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x^{2}+9)^{2} para eliminar denominadores e obter uma igualdade de polinômios:
2x^{3}=(Ax+B)(x^{2}+9)+(Cx+D).
Agora vamos expandir o lado direito e agrupar por potências de x.

Passo 4

Expansão:
(Ax+B)(x^{2}+9)=Ax^{3}+9Ax+Bx^{2}+9B.
Somando (Cx+D) obtemos
Ax^{3}+Bx^{2}+(9A+C)x+(9B+D).
Portanto a igualdade polinomial é
2x^{3} = Ax^{3} + Bx^{2} + (9A + C)x + (9B + D).

Passo 5

Comparando coeficientes termo a termo (igualdade para todo x) obtemos um sistema linear para A,B,C,D:
  • Coeficiente de x^{3}: 2 = A \Rightarrow A=2.
  • Coeficiente de x^{2}: 0 = B \Rightarrow B=0.
  • Coeficiente de x^{1}: 0 = 9A + C \Rightarrow C = -9A = -9\cdot2 = -18.
  • Termo constante: 0 = 9B + D \Rightarrow D = -9B = 0 (pois B=0).
Logo:
A=2,\quad B=0,\quad C=-18,\quad D=0.

Passo 6

Substituindo essas constantes na decomposição, obtemos
\frac{2x^{3}}{(x^{2}+9)^{2}}=\frac{2x}{x^{2}+9}+\frac{-18x}{(x^{2}+9)^{2}}.
Posso escrever de forma mais clara:
\frac{2x^{3}}{(x^{2}+9)^{2}}=\frac{2x}{x^{2}+9}-\frac{18x}{(x^{2}+9)^{2}}.
Agora integramos termo a termo:
\int \frac{2x^{3}}{(x^{2}+9)^{2}}\,dx = \int \frac{2x}{x^{2}+9}\,dx - \int \frac{18x}{(x^{2}+9)^{2}}\,dx.

Passo 7

Integração do primeiro termo. Use a substituição natural t=x^{2}+9. Vou explicar:
  • Quando se tem \dfrac{2x}{x^{2}+9}, note que a derivada de x^{2}+9 é 2x. Portanto a substituição t=x^{2}+9 dt=2x\,dx e
\int \frac{2x}{x^{2}+9}\,dx = \int \frac{1}{t}\,dt = \ln|t| + C = \ln(x^{2}+9)+C.
Não há problema com o valor absoluto porque x^{2}+9>0 para todo x, então poderíamos escrever \ln(x^{2}+9).

Passo 8

Integração do segundo termo. Novamente usar t=x^{2}+9, pois dt=2x\,dx. Reescrevendo:
\int \frac{18x}{(x^{2}+9)^{2}}\,dx = 9\int \frac{2x}{(x^{2}+9)^{2}}\,dx.
Com t=x^{2}+9 e dt=2x\,dx, isso se torna
9\int \frac{1}{t^{2}}\,dt = 9\int t^{-2}\,dt.
A integral de t^{-2} é -t^{-1}, então
9\int t^{-2}\,dt = 9\left(-\frac{1}{t}\right)+C = -\frac{9}{t}+C = -\frac{9}{x^{2}+9}+C.
Lembre que no passo anterior o termo tinha sinal negativo na expressão total, ou seja, estávamos subtraindo essa integral. Voltando:
- \int \frac{18x}{(x^{2}+9)^{2}}\,dx = -\left( -\frac{9}{x^{2}+9} \right) + C = \frac{9}{x^{2}+9} + C.

Passo 9

Somando os resultados dos dois termos (e juntando as constantes em uma única constante C), obtemos a primitiva:
\int \frac{2x^{3}}{(x^{2}+9)^{2}}\,dx = \ln(x^{2}+9) + \frac{9}{x^{2}+9} + C.

Passo 10

Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado para checar se volta à integranda.
  • \dfrac{d}{dx}\ln(x^{2}+9)=\dfrac{2x}{x^{2}+9}.
  • \dfrac{d}{dx}\dfrac{9}{x^{2}+9}=9\cdot\left(-\dfrac{2x}{(x^{2}+9)^{2}}\right)=-\dfrac{18x}{(x^{2}+9)^{2}}.
    Somando:
\frac{2x}{x^{2}+9}-\frac{18x}{(x^{2}+9)^{2}}=\frac{2x(x^{2}+9)-18x}{(x^{2}+9)^{2}}=\frac{2x^{3}}{(x^{2}+9)^{2}},
que é exatamente a integranda. Então está correto.

Resposta

\displaystyle \ln(x^{2}+9)+\frac{9}{x^{2}+9}+C

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