Calcule as integrais através da decomposição em frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral da função por decomposição em frações parciais. Dados:
- A função a integrar é
.
O objetivo é encontrarusando decomposição em frações parciais e mostrar todos os passos didaticamente.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão do denominador e perceber a estrutura que vai determinar o tipo de decomposição em frações parciais.
Observe o denominador:
Observe o denominador:
pois
.
Portanto a integranda é
Portanto a integranda é
Como o denominador é um quadrado de uma quadrática irreducível (
não tem raízes reais), a forma geral da decomposição em frações parciais para uma razão com esse denominador repetido é:
Explico: para um fator quadrático irreduzível
elevado à potência 2, deve-se incluir termos do tipo
e
. As letras
são constantes a determinar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores e obter uma igualdade de polinômios:
Agora vamos expandir o lado direito e agrupar por potências de
.
Passo 4
Expansão:
Somando
obtemos
Portanto a igualdade polinomial é
Passo 5
Comparando coeficientes termo a termo (igualdade para todo
) obtemos um sistema linear para
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
(pois ).
Logo:
Passo 6
Substituindo essas constantes na decomposição, obtemos
Posso escrever de forma mais clara:
Agora integramos termo a termo:
Passo 7
Integração do primeiro termo. Use a substituição natural
. Vou explicar:
- Quando se tem
, note que a derivada de é . Portanto a substituição dá e
Não há problema com o valor absoluto porque
para todo
, então poderíamos escrever
.
Passo 8
Integração do segundo termo. Novamente usar
, pois
. Reescrevendo:
Com
e
, isso se torna
A integral de
é
, então
Lembre que no passo anterior o termo tinha sinal negativo na expressão total, ou seja, estávamos subtraindo essa integral. Voltando:
Passo 9
Somando os resultados dos dois termos (e juntando as constantes em uma única constante
), obtemos a primitiva:
Passo 10
Verificação rápida (útil na prova): derivando o resultado para checar se volta à integranda.
-
. -
.
Somando:
que é exatamente a integranda. Então está correto.