Calcule as integrais através da decomposição em frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral da função dada usando decomposição em frações parciais. A informação fornecida é:
O que vamos calcular é a primitiva (antiderivada)
Dados relevantes que extraí do enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Observar fatoração do denominador pode simplificar a decomposição.
Passo 2
Primeiro olhar o denominador para fatorá-lo. Note que
pois
.
Então a função fica
Então a função fica
Como o denominador é uma potência (
) de um polinômio quadrático irredutível, a forma geral da decomposição em frações parciais é
onde
são constantes a determinar. Vou usar essa forma porque cobre o caso de uma fatoração em quadrático repetido.
Passo 3
Multiplico ambos os lados por
Expando o lado direito:
Somando
dá
Comparando coeficientes com
, obtemos o sistema:
Substituindo
:
Portanto os coeficientes são
,
,
. A decomposição fica
Passo 4
Agora integro termo a termo:
Para o primeiro termo uso a substituição simples
. Então
. Assim
(Como
para todo
, o valor absoluto é desnecessário, mas mantive a forma padrão.)
Passo 5
Para o segundo termo também uso
com
, assim
. Então
Aplicando a regra da potência para integrais,
portanto
Passo 6
Somando as primitivas dos dois termos obtemos a primitiva geral de
:
onde
é a constante de integração. Pequena verificação derivando: derivada de
é
e derivada de
é
; somando recupera o integrando.