Calcule as integrais através da decomposição em frações parciais:
f(x)=\frac{2 x^{3}}{x^{4}+8 x^{2}+16}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral da função dada usando decomposição em frações parciais. A informação fornecida é:
f(x)=\frac{2x^{3}}{x^{4}+8x^{2}+16}.
O que vamos calcular é a primitiva (antiderivada)
\int f(x)\,dx=\int \frac{2x^{3}}{x^{4}+8x^{2}+16}\,dx.
Dados relevantes que extraí do enunciado:
  • O numerador é 2x^{3}.
  • O denominador é x^{4}+8x^{2}+16.
  • Observar fatoração do denominador pode simplificar a decomposição.

Passo 2

Primeiro olhar o denominador para fatorá-lo. Note que
x^{4}+8x^{2}+16=(x^{2}+4)^{2},
pois (x^{2}+4)^{2}=x^{4}+2\cdot4x^{2}+4^{2}=x^{4}+8x^{2}+16.
Então a função fica
\frac{2x^{3}}{(x^{2}+4)^{2}}.
Como o denominador é uma potência ( (x^{2}+4)^{2}) de um polinômio quadrático irredutível, a forma geral da decomposição em frações parciais é
\frac{2x^{3}}{(x^{2}+4)^{2}}=\frac{Ax+B}{x^{2}+4}+\frac{Cx+D}{(x^{2}+4)^{2}},
onde A,B,C,D são constantes a determinar. Vou usar essa forma porque cobre o caso de uma fatoração em quadrático repetido.

Passo 3

Multiplico ambos os lados por (x^{2}+4)^{2}\) para obter uma identidade polinomial: \[2x^{3}=(Ax+B)(x^{2}+4)+(Cx+D).
Expando o lado direito:
(Ax+B)(x^{2}+4)=Ax^{3}+Bx^{2}+4Ax+4B.
Somando (Cx+D)
Ax^{3}+Bx^{2}+(4A+C)x+(4B+D).
Comparando coeficientes com 2x^{3}+0x^{2}+0x+0, obtemos o sistema:
\begin{cases} A=2,\\[4pt] B=0,\\[4pt] 4A+C=0,\\[4pt] 4B+D=0. \end{cases}
Substituindo A=2\] e \[B=0:
\begin{cases} C= -4A = -8,\\[4pt] D= -4B = 0. \end{cases}
Portanto os coeficientes são A=2\], \(B=0, C=-8, D=0. A decomposição fica
\frac{2x^{3}}{(x^{2}+4)^{2}}=\frac{2x}{x^{2}+4}-\frac{8x}{(x^{2}+4)^{2}}.]

Passo 4

Agora integro termo a termo:
\int \frac{2x}{x^{2}+4}\,dx \quad\text{e}\quad \int -\frac{8x}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx.
Para o primeiro termo uso a substituição simples u=x^{2}+4. Então du=2x\,dx. Assim
\int \frac{2x}{x^{2}+4}\,dx=\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln(x^{2}+4)+C.
(Como x^{2}+4>0 para todo x, o valor absoluto é desnecessário, mas mantive a forma padrão.)

Passo 5

Para o segundo termo também uso u=x^{2}+4 com du=2x\,dx, assim x\,dx=\dfrac{du}{2}. Então
\int -\frac{8x}{(x^{2}+4)^{2}}\,dx = -8\int \frac{x\,dx}{u^{2}} = -8\int \frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{du}{2} = -4\int u^{-2}\,du.
Aplicando a regra da potência para integrais,
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{u},
portanto
-4\int u^{-2}\,du = -4\left(-\frac{1}{u}\right)=\frac{4}{u}=\frac{4}{x^{2}+4}.

Passo 6

Somando as primitivas dos dois termos obtemos a primitiva geral de f:
\int \frac{2x^{3}}{x^{4}+8x^{2}+16}\,dx = \ln(x^{2}+4)+\frac{4}{x^{2}+4}+C,
onde C é a constante de integração. Pequena verificação derivando: derivada de \ln(x^{2}+4) é \dfrac{2x}{x^{2}+4} e derivada de \dfrac{4}{x^{2}+4} é -8x/(x^{2}+4)^{2}; somando recupera o integrando.

Resposta

\displaystyle \ln(x^{2}+4)+\frac{4}{x^{2}+4}+C

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