Determine os valores máximos, uminimos locais e pontos de sela da funcióo.
f(x, y)=e^{4 y-x{2}-y{2}}
f(x, y)=e^{4 y-x{2}-y{2}}
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores máximos, mínimos locais e pontos de sela da função
Informações dadas e observações imediatas:
- A função está definida para todos os pontos
(domínio é todo o plano). - A expressão é uma função exponencial com expoente
. - As perguntas que preciso responder são: quais são os pontos críticos (onde a derivada é zero), e entre esses pontos, quais são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Também devo identificar se há máximo/mínimo global.
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular as derivadas parciais primeiras
e
. Vou usar a regra da cadeia para funções da forma
: a derivada parcial é
, onde
é a derivada parcial de
em relação a
. Aqui
. Então:
Aplicando isso,
Passo 3
Agora encontramos os pontos críticos resolvendo o sistema
Como
, posso dividir/colarcar esse fator e ficar apenas com as partes polinomiais:
Dessas equações obtemos
Portanto existe um único ponto crítico: ((0,2)].]
Passo 4
Para classificar o ponto crítico uso o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana). Vou explicar o que é isso: a Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais
onde
,
e
. O critério clássico em duas variáveis é: calcule
no ponto crítico. Se
e
então é máximo local; se
e
então é mínimo local; se
então é ponto de sela; se
o teste é inconclusivo.]
Passo 5
Calculo agora as segundas derivadas. Já tenho
e
, com
denotando
. Uso regra do produto para derivar novamente:
Derivando
em relação a
:
Mas
, então
Derivando
em relação a
:
Como
, obtemos
Derivando
em relação a
para obter
:
Passo 6
Avalio as segundas derivadas em
. Primeiro calculo
:
Agora substituo em cada fórmula:
Passo 7
Calculo o discriminante
no ponto crítico:
Além disso
. Pelo teste das segundas derivadas:
e
implicam que
é um ponto de máximo local.
Passo 8
Agora raciocino sobre máximos/minimos globais e existência de mínimos ou pontos de sela. Uma maneira clara é completar o quadrado no expoente:
Logo
Observações úteis:
- O fator
atinge seu máximo igual a exatamente quando , isto é, em . Assim é também o máximo global da função no plano, e o valor máximo global é . - Como
quando , a função não assume um valor mínimo global em . O ínfimo (menor limite possível) é , mas esse valor não é atingido por nenhum ponto do plano (apenas é limite quando ). Portanto não existem mínimos locais nem globais, só o máximo. - Não existem outros pontos críticos além de
, logo não há pontos de sela (pois para haver sela precisaríamos de um ponto crítico com , o que não acontece).
Passo 9
Resumo da classificação:
- Ponto crítico único:
. -
é máximo local e também máximo global, com valor . - Não há mínimos locais nem globais.
- Não há pontos de sela.
- Infimum da função é
(não atingido).
Resposta
Ponto crítico:
.
Máximo local e global em com valor
.
Não existem mínimos locais nem globais.
Não existem pontos de sela.
Ínfimo da função: (não atingido).
Máximo local e global em
Não existem mínimos locais nem globais.
Não existem pontos de sela.
Ínfimo da função: