Determine os valores máximos, uminimos locais e pontos de sela da funcióo.
f(x, y)=e^{4 y-x{2}-y{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores máximos, mínimos locais e pontos de sela da função
f(x,y)=e^{4y-x^{2}-y^{2}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função está definida para todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^{2} (domínio é todo o plano).
  • A expressão é uma função exponencial com expoente 4y-x^{2}-y^{2}.
  • As perguntas que preciso responder são: quais são os pontos críticos (onde a derivada é zero), e entre esses pontos, quais são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Também devo identificar se há máximo/mínimo global.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular as derivadas parciais primeiras \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}. Vou usar a regra da cadeia para funções da forma f(x,y)=e^{g(x,y)}: a derivada parcial é \dfrac{\partial f}{\partial x}=g_x(x,y)\,e^{g(x,y)}, onde g_x é a derivada parcial de g em relação a x. Aqui g(x,y)=4y-x^{2}-y^{2}. Então:
g_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(4y-x^{2}-y^{2})=-2x,
g_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(4y-x^{2}-y^{2})=4-2y.
Aplicando isso,
\frac{\partial f}{\partial x}=(-2x)\,e^{4y-x^{2}-y^{2}},
\frac{\partial f}{\partial y}=(4-2y)\,e^{4y-x^{2}-y^{2}}.

Passo 3

Agora encontramos os pontos críticos resolvendo o sistema \nabla f=(0,0)\), isto é: \[\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=0,\\[4pt] \frac{\partial f}{\partial y}=0. \end{cases}
Como e^{4y-x^{2}-y^{2}}>0\] para todo \[(x,y), posso dividir/colarcar esse fator e ficar apenas com as partes polinomiais:
\begin{cases} -2x=0,\\[4pt] 4-2y=0. \end{cases}
Dessas equações obtemos
x=0,\qquad y=2.
Portanto existe um único ponto crítico: ((0,2)].]

Passo 4

Para classificar o ponto crítico uso o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana). Vou explicar o que é isso: a Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais
H_f(x,y)= \begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y)\\[4pt] f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix},
onde f_{xx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}, f_{yy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} e f_{xy}=f_{yx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}. O critério clássico em duas variáveis é: calcule D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2} no ponto crítico. Se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo local; se D>0 e f_{xx}>0 então é mínimo local; se D<0 então é ponto de sela; se D=0 o teste é inconclusivo.]

Passo 5

Calculo agora as segundas derivadas. Já tenho f_x=-2x f e f_y=(4-2y)f, com f denotando f(x,y)=e^{4y-x^{2}-y^{2}}. Uso regra do produto para derivar novamente:
Derivando f_x=-2x f em relação a x:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(-2x f)=-2f +(-2x)f_x.
Mas f_x=-2x f, então
f_{xx}=-2f +(-2x)(-2x f)=-2f +4x^{2}f=f\bigl(-2+4x^{2}\bigr).
Derivando f_y=(4-2y)f em relação a y:
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl((4-2y)f\bigr)=-2f +(4-2y)f_y.
Como f_y=(4-2y)f, obtemos
f_{yy}=-2f +(4-2y)^{2}f=f\bigl(-2+(4-2y)^{2}\bigr).
Derivando f_x em relação a y para obter f_{xy}:
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(-2x f)=-2x f_y=-2x(4-2y)f.

Passo 6

Avalio as segundas derivadas em (0,2). Primeiro calculo f(0,2):
f(0,2)=e^{4\cdot 2 - 0^{2}-2^{2}}=e^{8-4}=e^{4}.
Agora substituo em cada fórmula:
f_{xx}(0,2)=f(0,2)\bigl(-2+4\cdot 0^{2}\bigr)=e^{4}(-2)=-2e^{4},
f_{yy}(0,2)=f(0,2)\bigl(-2+(4-2\cdot 2)^{2}\bigr)=e^{4}(-2+0^{2})=-2e^{4},
f_{xy}(0,2)=-2\cdot 0 \cdot(4-2\cdot 2)\,e^{4}=0.

Passo 7

Calculo o discriminante D no ponto crítico:
D=f_{xx}(0,2)\,f_{yy}(0,2)-\bigl(f_{xy}(0,2)\bigr)^{2}=(-2e^{4})(-2e^{4})-0^{2}=4e^{8}>0.
Além disso f_{xx}(0,2)=-2e^{4}<0. Pelo teste das segundas derivadas: D>0 e f_{xx}<0 implicam que (0,2) é um ponto de máximo local.

Passo 8

Agora raciocino sobre máximos/minimos globais e existência de mínimos ou pontos de sela. Uma maneira clara é completar o quadrado no expoente:
4y-x^{2}-y^{2}=-x^{2}-\bigl(y^{2}-4y\bigr)=-x^{2}-\bigl((y-2)^{2}-4\bigr)=-\bigl(x^{2}+(y-2)^{2}\bigr)+4.
Logo
f(x,y)=e^{4}\,e^{-\bigl(x^{2}+(y-2)^{2}\bigr)}.
Observações úteis:
  • O fator e^{-\bigl(x^{2}+(y-2)^{2}\bigr)} atinge seu máximo igual a 1 exatamente quando x^{2}+(y-2)^{2}=0, isto é, em (0,2). Assim (0,2) é também o máximo global da função no plano, e o valor máximo global é f(0,2)=e^{4}.
  • Como e^{-\bigl(x^{2}+(y-2)^{2}\bigr)}\to 0 quando \|(x,y)\|\to\infty, a função não assume um valor mínimo global em \mathbb{R}^{2}. O ínfimo (menor limite possível) é 0, mas esse valor não é atingido por nenhum ponto do plano (apenas é limite quando \|(x,y)\|\to\infty). Portanto não existem mínimos locais nem globais, só o máximo.
  • Não existem outros pontos críticos além de (0,2), logo não há pontos de sela (pois para haver sela precisaríamos de um ponto crítico com D<0, o que não acontece).

Passo 9

Resumo da classificação:
  • Ponto crítico único: (0,2).
  • (0,2) é máximo local e também máximo global, com valor f(0,2)=e^{4}.
  • Não há mínimos locais nem globais.
  • Não há pontos de sela.
  • Infimum da função é 0 (não atingido).

Resposta

Ponto crítico: (0,2).
Máximo local e global em (0,2) com valor e^{4}.
Não existem mínimos locais nem globais.
Não existem pontos de sela.
Ínfimo da função: 0 (não atingido).

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