Determine os valores máximos, uminimos locais e pontos de sela da funcióo.
f(x, y)=x{4}+y{4}+4 x+4 y

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores máximos, mínimos locais e pontos de sela da função \,f(x,y)=x^{4}+y^{4}+4x+4y\,.
Informações dadas pelo enunciado:
f(x,y)=x^{4}+y^{4}+4x+4y
Domínio implícito: todo o plano \mathbb{R}^2 (não há restrições em x ou y).
Perguntas explícitas que vamos responder:
  • Quais são os pontos críticos (onde podem ocorrer mínimos, máximos ou sela)?
  • Entre esses pontos, quais são mínimos locais (ou globais), máximos locais ou pontos de sela?
  • Quais são os valores da função nesses pontos (quando aplicável)?

Passo 2

Primeiro passo técnico: encontrar os pontos críticos. Para isso precisamos das derivadas parciais primeiras e igualá‑las a zero.
Conceito rápido e didático: um ponto crítico de f é um ponto (x,y) onde o gradiente de f é o vetor nulo. O gradiente reúne as derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Iremos calcular \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
Derivando em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=4x^{3}+4=4(x^{3}+1).
Derivando em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=4y^{3}+4=4(y^{3}+1).
Explicação: usamos a regra de potência: se g(t)=t^4 então g'(t)=4t^3; e derivada de 4x em relação a x é 4. Mesma lógica para y.

Passo 4

Igualamos as derivadas a zero para achar pontos críticos:
4(x^{3}+1)=0\quad\Rightarrow\quad x^{3}+1=0\quad\Rightarrow\quad x^{3}=-1.
A equação real x^{3}=-1 tem única solução real x=-1.
Analogamente,
4(y^{3}+1)=0\quad\Rightarrow\quad y^{3}=-1\quad\Rightarrow\quad y=-1.
Portanto o único ponto crítico real é
(x,y)=(-1,-1).
Comentário intuitivo: não há outras combinações porque as equações para x e y se separam e cada uma tem só uma raiz real.

Passo 5

Agora vamos classificar o ponto crítico (-1,-1) usando a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas). Conceito: a Hessiana indica curvatura local da função; para funções de duas variáveis, se a Hessiana for definida positiva no ponto crítico então é mínimo local; se definida negativa, máximo local; se indefinida, ponto de sela.
Calculemos as segundas derivadas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=12x^{2},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=12y^{2},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=0.
Logo a Hessiana é a matriz diagonal
H(x,y)=\begin{pmatrix}12x^{2} & 0\\[4pt] 0 & 12y^{2}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Avaliando a Hessiana no ponto crítico (-1,-1):
H(-1,-1)=\begin{pmatrix}12\cdot(-1)^{2} & 0\\[4pt] 0 & 12\cdot(-1)^{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}12 & 0\\[4pt] 0 & 12\end{pmatrix}.
Para classificar usamos os menores principais (determinantes das submatrizes superiores à esquerda) ou observamos que a matriz é diagonal com entradas positivas. Menores principais:
  • Primeiro menor principal: D_{1}=12>0.
  • Determinante total: D_{2}=\det H(-1,-1)=12\cdot12-0=144>0.
Regra (segunda derivada para duas variáveis): se D_{1}>0 e D_{2}>0, então H é definida positiva e o ponto é mínimo local. Assim (-1,-1) é um mínimo local.]

Passo 7

Vamos calcular o valor da função em (-1,-1) (útil para dizer o valor mínimo):
f(-1,-1)=(-1)^{4}+(-1)^{4}+4(-1)+4(-1)=1+1-4-4= -6.
Portanto em (-1,-1) a função atinge o valor -6.

Passo 8

Agora precisamos saber se esse mínimo local é também global (valor mínimo absoluto na função). Para isso observamos o comportamento de f quando |x| ou |y| ficam grandes.
Análise do comportamento no infinito: os termos dominantes são x^{4} e y^{4}, que são sempre não negativos e crescem para +\infty quando |x|\to\infty ou |y|\to\infty. Mais formalmente,
x^{4}+y^{4}\to +\infty \quad\text{quando}\quad \|(x,y)\|\to\infty,
enquanto os termos lineares 4x+4y são de ordem menor. Portanto f(x,y)\to +\infty quando \|(x,y)\|\to\infty. Isso implica que f tem um mínimo global alcançado em algum ponto crítico (ou pontos críticos). Como já encontramos o único ponto crítico (-1,-1), este é necessariamente o mínimo global também.
Intuição: a função forma uma “bacia” muito profunda por causa dos quartic terms positivos; existe uma única vala onde o valor é mínimo.

Passo 9

Ainda resta verificar se há máximos locais ou pontos de sela. Já vimos que há apenas um ponto crítico e ele é mínimo (definida positiva). Não existem outros pontos críticos, logo não há máximos locais nem pontos de sela.
Também não existe máximo global porque f(x,y)\to+\infty quando \|(x,y)\|\to\infty, ou seja, a função não é limitada superiormente.

Resposta

Mínimo local e global: (-1,-1) com valor f(-1,-1)=-6.
Máximos locais: nenhum.
Pontos de sela: nenhum.

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