Determine os valores máximos, uminimos locais e pontos de sela da funcióo.
f(x, y)=x{4}+y{4}+4 x+4 y
f(x, y)=x{4}+y{4}+4 x+4 y
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores máximos, mínimos locais e pontos de sela da função
.
Informações dadas pelo enunciado:
Domínio implícito: todo o plano
(não há restrições em
ou
).
Perguntas explícitas que vamos responder:
- Quais são os pontos críticos (onde podem ocorrer mínimos, máximos ou sela)?
- Entre esses pontos, quais são mínimos locais (ou globais), máximos locais ou pontos de sela?
- Quais são os valores da função nesses pontos (quando aplicável)?
Passo 2
Primeiro passo técnico: encontrar os pontos críticos. Para isso precisamos das derivadas parciais primeiras e igualá‑las a zero.
Conceito rápido e didático: um ponto crítico de
é um ponto
onde o gradiente de
é o vetor nulo. O gradiente reúne as derivadas parciais:
Iremos calcular
e
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais:
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Explicação: usamos a regra de potência: se
então
; e derivada de
em relação a
é
. Mesma lógica para
.
Passo 4
Igualamos as derivadas a zero para achar pontos críticos:
A equação real
tem única solução real
.
Analogamente,
Portanto o único ponto crítico real é
Comentário intuitivo: não há outras combinações porque as equações para
e
se separam e cada uma tem só uma raiz real.
Passo 5
Agora vamos classificar o ponto crítico
usando a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas). Conceito: a Hessiana indica curvatura local da função; para funções de duas variáveis, se a Hessiana for definida positiva no ponto crítico então é mínimo local; se definida negativa, máximo local; se indefinida, ponto de sela.
Calculemos as segundas derivadas:
Logo a Hessiana é a matriz diagonal
Passo 6
Avaliando a Hessiana no ponto crítico
:
Para classificar usamos os menores principais (determinantes das submatrizes superiores à esquerda) ou observamos que a matriz é diagonal com entradas positivas. Menores principais:
- Primeiro menor principal:
. - Determinante total:
.
Regra (segunda derivada para duas variáveis): se
e
, então
é definida positiva e o ponto é mínimo local. Assim
é um mínimo local.]
Passo 7
Vamos calcular o valor da função em
(útil para dizer o valor mínimo):
Portanto em
a função atinge o valor
.
Passo 8
Agora precisamos saber se esse mínimo local é também global (valor mínimo absoluto na função). Para isso observamos o comportamento de
quando
ou
ficam grandes.
Análise do comportamento no infinito: os termos dominantes são
e
, que são sempre não negativos e crescem para
quando
ou
. Mais formalmente,
enquanto os termos lineares
são de ordem menor. Portanto
quando
. Isso implica que
tem um mínimo global alcançado em algum ponto crítico (ou pontos críticos). Como já encontramos o único ponto crítico
, este é necessariamente o mínimo global também.
Intuição: a função forma uma “bacia” muito profunda por causa dos quartic terms positivos; existe uma única vala onde o valor é mínimo.
Passo 9
Ainda resta verificar se há máximos locais ou pontos de sela. Já vimos que há apenas um ponto crítico e ele é mínimo (definida positiva). Não existem outros pontos críticos, logo não há máximos locais nem pontos de sela.
Também não existe máximo global porque
quando
, ou seja, a função não é limitada superiormente.
Resposta
Mínimo local e global:
com valor
.
Máximos locais: nenhum.
Pontos de sela: nenhum.
Máximos locais: nenhum.
Pontos de sela: nenhum.