Determine os valores máximos, uminimos locais e pontos de sela da funcióo.
f(x, y)=x{2}+y{3}+x y-3 x-4 y+5
f(x, y)=x{2}+y{3}+x y-3 x-4 y+5
Passo 1
O enunciado pede: determinar os valores máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função
Informações dadas: a expressão explícita de
.
Perguntas a responder: (i) quais são os pontos críticos; (ii) entre esses, quais são mínimos locais, máximos locais e pontos de sela; (iii) eventualmente os valores de nesses pontos (quando relevante).
Perguntas a responder: (i) quais são os pontos críticos; (ii) entre esses, quais são mínimos locais, máximos locais e pontos de sela; (iii) eventualmente os valores de
Passo 2
Como primeiro passo prático, precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos
onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são nulas. Isto porque um ponto interior onde o gradiente é nulo é candidato a extremo local ou ponto de sela.
As derivadas parciais são obtidas derivando a função tratando a outra variável como constante. Calculemos:
As derivadas parciais são obtidas derivando a função tratando a outra variável como constante. Calculemos:
Explicação curta: em
derivamos
dando
,
dá
, termos que não dependem de
somam zero; em
derivamos
dando
,
dá
, demais termos sem
somam zero.
Passo 3
Os pontos críticos satisfazem o sistema
Da primeira equação isolamos
:
Substituímos esse
na segunda equação:
Agora desenvolvemos a parte quadrática passo a passo:
Então a equação fica
Isto é uma equação quadrática em
. Para resolver usamos a fórmula quadrática
com
,
,
. Calculamos o discriminante:
Como
, obtemos as raízes
Assim
Agora retornamos a
para cada
:
Portanto os pontos críticos são
e
.]
Passo 4
Agora precisamos classificar cada ponto crítico: mínimo local, máximo local ou sela. Para isto usamos o teste das derivadas de segunda ordem (teste do discriminante Hessiano) para funções de duas variáveis. Vou explicar a ideia: formamos a matriz Hessiana cujas entradas são as derivadas segundas
onde
,
,
. Para um ponto crítico
calculamos o determinante
avaliado em
. A interpretação é:
- Se
e , então há um mínimo local em . - Se
e , então há um máximo local. - Se
, então é ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Esta é uma ferramenta padrão; vou aplicá-la passo a passo.]
Passo 5
Calculemos as segundas derivadas de
:
Observação:
é constante e positiva;
depende de
.
Passo 6
Avaliação em
: aqui
, então
O determinante Hessiano é
Como
e
, concluímos que
é um mínimo local. Vamos calcular também o valor da função nesse ponto:
Portanto há um mínimo local em
com valor
.
Passo 7
Avaliação em
: aqui
, então
O determinante Hessiano é
Como
, o ponto
é um ponto de sela. Para referência, o valor de
nesse ponto, calculado cuidadosamente em frações, é
mas o tipo do ponto (sela) é determinado por
.
Passo 8
Sobre máximos locais: nenhum dos pontos críticos foi classificado como máximo local. Além disso, note que a presença do termo
faz com que
tenda para
quando
e para
quando
; logo não existe máximo global nem mínimo global. Mas a questão original pedia extremos locais e pontos de sela, então o que interessa são os resultados já obtidos.
Passo 9
Recapitulando e te dando um empurrãozinho final: encontramos dois pontos críticos, classificámos com o teste das derivadas segundas (Hessiano) e demonstrámos passo a passo por que um é mínimo local e o outro é ponto de sela. Se estiver nervoso para a prova, lembra: primeiramente sempre calcule as parciais, resolva o sistema, depois use o Hessiano para classificar — isso é receita de bolo que funciona bem; e você já fez isso aqui comigo!
Resposta
Mínimo local:
com valor
.
Máximos locais: nenhum.
Ponto de sela: com
.
Máximos locais: nenhum.
Ponto de sela: