Determine os valores máximos, uminimos locais e pontos de sela da funcióo.
f(x, y)=x{2}+y{3}+x y-3 x-4 y+5

Passo 1

O enunciado pede: determinar os valores máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função
f(x,y)=x^{2}+y^{3}+x y-3 x-4 y+5.
Informações dadas: a expressão explícita de f(x,y).
Perguntas a responder: (i) quais são os pontos críticos; (ii) entre esses, quais são mínimos locais, máximos locais e pontos de sela; (iii) eventualmente os valores de f nesses pontos (quando relevante).

Passo 2

Como primeiro passo prático, precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos (x,y) onde as derivadas parciais de f em relação a x e y são nulas. Isto porque um ponto interior onde o gradiente é nulo é candidato a extremo local ou ponto de sela.
As derivadas parciais são obtidas derivando a função tratando a outra variável como constante. Calculemos:
\frac{\partial f}{\partial x}=f_x=2x+y-3,
\frac{\partial f}{\partial y}=f_y=3y^{2}+x-4.
Explicação curta: em f_x derivamos x^{2} dando 2x, xy y, termos que não dependem de x somam zero; em f_y derivamos y^{3} dando 3y^{2}, xy x, demais termos sem y somam zero.

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem o sistema
\begin{cases} 2x+y-3=0,\\[4pt] 3y^{2}+x-4=0. \end{cases}
Da primeira equação isolamos y:
y=3-2x.
Substituímos esse y na segunda equação:
3(3-2x)^{2}+x-4=0.
Agora desenvolvemos a parte quadrática passo a passo:
(3-2x)^{2}=9-12x+4x^{2},
3(9-12x+4x^{2})=27-36x+12x^{2}.
Então a equação fica
12x^{2}-36x+27 + x -4 =0,
12x^{2}-35x+23=0.
Isto é uma equação quadrática em x. Para resolver usamos a fórmula quadrática x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} com a=12, b=-35, c=23. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=(-35)^{2}-4\cdot 12\cdot 23=1225-1104=121.
Como \sqrt{121}=11, obtemos as raízes
x=\frac{35\pm 11}{24}.
Assim
x_{1}=\frac{35-11}{24}=\frac{24}{24}=1,
x_{2}=\frac{35+11}{24}=\frac{46}{24}=\frac{23}{12}.
Agora retornamos a y=3-2x para cada x:
\text{para }x=1:\quad y=3-2\cdot 1=1,
\text{para }x=\frac{23}{12}:\quad y=3-2\cdot\frac{23}{12}=3-\frac{46}{12}=\frac{36-46}{12}=-\frac{10}{12}=-\frac{5}{6}.
Portanto os pontos críticos são \displaystyle (1,1) e \displaystyle\left(\frac{23}{12},-\frac{5}{6}\right).]

Passo 4

Agora precisamos classificar cada ponto crítico: mínimo local, máximo local ou sela. Para isto usamos o teste das derivadas de segunda ordem (teste do discriminante Hessiano) para funções de duas variáveis. Vou explicar a ideia: formamos a matriz Hessiana cujas entradas são as derivadas segundas
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix},
onde f_{xx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}, f_{yy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}, f_{xy}=f_{yx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}. Para um ponto crítico (x_0,y_0) calculamos o determinante
D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}
avaliado em (x_0,y_0). A interpretação é:
  • Se D>0 e f_{xx}(x_0,y_0)>0, então há um mínimo local em (x_0,y_0).
  • Se D>0 e f_{xx}(x_0,y_0)<0, então há um máximo local.
  • Se D<0, então (x_0,y_0) é ponto de sela.
  • Se D=0, o teste é inconclusivo.
Esta é uma ferramenta padrão; vou aplicá-la passo a passo.]

Passo 5

Calculemos as segundas derivadas de f:
f_{xx}=2,\qquad f_{xy}=1,\qquad f_{yy}=6y.
Observação: f_{xx}=2 é constante e positiva; f_{yy} depende de y.

Passo 6

Avaliação em (1,1): aqui y=1, então
f_{xx}(1,1)=2,\qquad f_{yy}(1,1)=6\cdot 1=6,\qquad f_{xy}=1.
O determinante Hessiano é
D(1,1)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=2\cdot 6 - 1^{2}=12-1=11>0.
Como D>0 e f_{xx}(1,1)=2>0, concluímos que (1,1) é um mínimo local. Vamos calcular também o valor da função nesse ponto:
f(1,1)=1^{2}+1^{3}+1\cdot 1-3\cdot 1-4\cdot 1+5=1+1+1-3-4+5=1.
Portanto há um mínimo local em (1,1) com valor f(1,1)=1.

Passo 7

Avaliação em \left(\dfrac{23}{12},-\dfrac{5}{6}\right): aqui y=-\dfrac{5}{6}, então
f_{xx}=2,\qquad f_{yy}=6\left(-\frac{5}{6}\right)=-5,\qquad f_{xy}=1.
O determinante Hessiano é
D\!\left(\frac{23}{12},-\frac{5}{6}\right)=2\cdot(-5)-1^{2}=-10-1=-11<0.
Como D<0, o ponto \displaystyle\left(\frac{23}{12},-\frac{5}{6}\right) é um ponto de sela. Para referência, o valor de f nesse ponto, calculado cuidadosamente em frações, é
f\!\left(\frac{23}{12},-\frac{5}{6}\right)=\frac{1763}{432}\approx 4{,}0810185,
mas o tipo do ponto (sela) é determinado por D<0.

Passo 8

Sobre máximos locais: nenhum dos pontos críticos foi classificado como máximo local. Além disso, note que a presença do termo y^{3} faz com que f tenda para +\infty quando y\to+\infty e para -\infty quando y\to -\infty; logo não existe máximo global nem mínimo global. Mas a questão original pedia extremos locais e pontos de sela, então o que interessa são os resultados já obtidos.

Passo 9

Recapitulando e te dando um empurrãozinho final: encontramos dois pontos críticos, classificámos com o teste das derivadas segundas (Hessiano) e demonstrámos passo a passo por que um é mínimo local e o outro é ponto de sela. Se estiver nervoso para a prova, lembra: primeiramente sempre calcule as parciais, resolva o sistema, depois use o Hessiano para classificar — isso é receita de bolo que funciona bem; e você já fez isso aqui comigo!

Resposta

Mínimo local: (1,1) com valor f(1,1)=1.
Máximos locais: nenhum.
Ponto de sela: \displaystyle\left(\frac{23}{12},-\frac{5}{6}\right) com f\!\left(\frac{23}{12},-\frac{5}{6}\right)=\dfrac{1763}{432}.

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