tenha:
(a) Nenhuma solução.
(b) Mais de uma solução.
(c) Solução única.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema de três equações lineares em (x,y,z) com um parâmetro a. Precisamos classificar para quais valores de a o sistema tem nenhuma solução, infinitas soluções ou solução única. O conteúdo é álgebra linear básica: vamos usar o determinante da matriz dos coeficientes para decidir a existência de solução única e o Teorema de Rouché–Capelli (ranks da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada) para estudar os casos em que o determinante é zero.
Passo 2
Escrevemos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 2 & 3 & a\\\\ 1 & a & 3 \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante por expansão na primeira linha:
Fazendo
R_2\leftarrowR_2-2R_1\to(0,1,4,|,1)
e
R_3\leftarrowR_3-R_1\to(0,1,4,|,1),
vemos que as duas últimas linhas coincidem, então o rank de A e da ampliada é 2 (menor que 3) e não há contradição. Assim, para a=2 o sistema tem infinitas soluções.
Fazendo
R_2\leftarrowR_2-2R_1\to(0,1,-1,|,1)
e
R_3\leftarrowR_3-R_1\to(0,-4,4,|,1),
em seguida R_3\leftarrowR_3+4 R_2\to(0,0,0,|,5),
obtemos a linha 0=5, contradição. Logo o rank da ampliada é 3 e o rank de A é 2, implicando que para a=-3 o sistema é incompatível (nenhuma solução).
Resposta
(a) Nenhuma solução: a=-3
(b) Mais de uma solução: a=2
(c) Solução única: a\neq2,\,-3