Determine os valores de a, de modo que o Sistema Linear
\left\{\begin{array}{l} x+y-z=1 \\\\ 2 x+3 y+a z=3 \\\ x+a y+3 z=2 \end{array}\right.
tenha:
(a) Nenhuma solução.
(b) Mais de uma solução.
(c) Solução única.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de três equações lineares em (x,y,z) com um parâmetro a. Precisamos classificar para quais valores de a o sistema tem nenhuma solução, infinitas soluções ou solução única. O conteúdo é álgebra linear básica: vamos usar o determinante da matriz dos coeficientes para decidir a existência de solução única e o Teorema de Rouché–Capelli (ranks da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada) para estudar os casos em que o determinante é zero.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 2 & 3 & a\\\\ 1 & a & 3 \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante por expansão na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & a\\\ a & 3\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & a\\\\ 1 & 3\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 3\\\\ 1 & a\end{pmatrix}.
Isso dá
\det(A) =(3\cdot3 - a^2) - (2\cdot3 - a\cdot1) - (2\cdot a - 3\cdot1) =9 - a^2 - (6 - a) - (2a - 3) =6 - a - a^2.
Fatorando,
\det(A) = -(a^2 + a - 6)= -(a+3)(a-2).

Passo 3

Quando \det(A)\neq0, pelo Teorema de Cramer o sistema tem solução única. Logo,
\det(A)\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad a\neq2,\;-3
é a condição para existir solução única.

Passo 4

Agora analisamos os valores que anulam o determinante, a=2 ou a=-3, verificando consistência pelo rank.
Para a=2 a matriz ampliada fica
\bigl[A|\mathbf b\bigr]= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 3 & 2 & 3\\\\ 1 & 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
Fazendo
R _2 \leftarrowR _2 -2R _1 \to(0,1,4,|,1)
e
R _3 \leftarrowR _3 -R _1 \to(0,1,4,|,1),
vemos que as duas últimas linhas coincidem, então o rank de A e da ampliada é 2 (menor que 3) e não há contradição. Assim, para a=2 o sistema tem infinitas soluções.

Passo 5

Para a=-3 a matriz ampliada é
\bigl[A|\mathbf b\bigr]= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 3 & -3 & 3\\\\ 1 & -3 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
Fazendo
R _2 \leftarrowR _2 -2R _1 \to(0,1,-1,|,1)
e
R _3 \leftarrowR _3 -R _1 \to(0,-4,4,|,1),
em seguida R _3 \leftarrowR _3+4 R _2 \to(0,0,0,|,5),
obtemos a linha 0=5, contradição. Logo o rank da ampliada é 3 e o rank de A é 2, implicando que para a=-3 o sistema é incompatível (nenhuma solução).

Resposta

(a) Nenhuma solução: a=-3
(b) Mais de uma solução: a=2
(c) Solução única: a\neq2,\,-3

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