Considere as bases B=\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} e C=\left\{g_{1}, g_{2}, g_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3} assim relacionadas:
\begin{aligned} g_{1} & =e_{1}-e_{2}-e_{3} \\\ g_{2} & =2 e_{2}+3 e_{3} \\\ g_{3} & =3 e_{1} \end{aligned}
a) Determinar as matrizes de mudança de B para C e de C para B .
b) Se um vetor u de \mathbb{R}^{3} apresenta coordenadas 1,2 e 3, em relação a B, quais as coordenadas de u relativamente a C ?

Passo 1

Temos duas bases de \mathbb{R}^3:
\;B=\{e_1,e_2,e_3\} (que serve de referência) e
\;C=\{g_1,g_2,g_3\} com
g_1 = e_1 - e_2 - e_3,\quad g_2 = 2e_2 + 3e_3,\quad g_3 = 3e_1.
O conteúdo é mudança de base. Precisamos achar
  1. a matriz de mudança de C para B, isto é \mathbf{P}_{B\leftarrow C},
  2. a matriz inversa, \mathbf{P}_{C\leftarrow B},
  3. e então usar \mathbf{P}_{C\leftarrow B} para converter as coordenadas de um vetor u.

Passo 2

Para achar \mathbf{P}_{B\leftarrow C}, escrevemos cada g_j em coordenadas na base B. Em B,
g_1 = (1,\,-1,\,-1)^\mathsf{T},\qquad g_2 = (0,\,2,\,3)^\mathsf{T},\qquad g_3 = (3,\,0,\,0)^\mathsf{T}.
Colocando essas coordenadas como colunas, obtemos
\mathbf{P}_{B\leftarrow C} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\[0.3em] -1 & 2 & 0\\[0.3em] -1 & 3 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para achar \mathbf{P}_{C\leftarrow B} = \bigl(\mathbf{P}_{B\leftarrow C}\bigr)^{-1}, invertemos a matriz acima. O determinante é -3 e o adjunto leva a
\mathbf{P}_{C\leftarrow B} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 0 & -9 & 6\\[0.3em] 0 & -3 & 3\\[0.3em] 1 & 3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 2\\[0.3em] 0 & -1 & 1\\[0.3em] \tfrac{1}{3} & 1 & -\tfrac{2}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Dado u com coordenadas em B iguais a (1,2,3), suas coordenadas em C são
[u]_C = \mathbf{P}_{C\leftarrow B}\,[u]_B = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 2\\\\ 0 & -1 & 1\\\ \tfrac{1}{3} & 1 & -\tfrac{2}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot1 + (-3)\cdot2 + 2\cdot3\\[0.3em] 0\cdot1 + (-1)\cdot2 + 1\cdot3\\[0.3em] \tfrac{1}{3}\cdot1 + 1\cdot2 + \bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Resposta

a)
\displaystyle \mathbf{P}_{B\leftarrow C} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\\\ -1 & 2 & 0\\\\ -1 & 3 & 0 \end{pmatrix},
\quad
\displaystyle \mathbf{P}_{C\leftarrow B} =\begin{pmatrix} 0 & -3 & 2\\\\ 0 & -1 & 1\\\ \tfrac{1}{3} & 1 & -\tfrac{2}{3} \end{pmatrix}.
b) As coordenadas de u em C são
\displaystyle [u]_C = (0,\,1,\,\tfrac{1}{3}).

Exercícios relacionados