Para cada uma das relações entrada-saída a seguir, determine se o sistema correspondente é linear, invariante no tempo ou ambos.
y[n]=x^2[n-2]

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Temos um sistema discreto que, dado um sinal de entrada y[n] = x^2[n - 2] , entrega como saída
A ideia é decidir se esse sistema é linear, invariante no tempo ou ambos.”
Conteúdo: classificação de sistemas (linearidade e invariança no tempo).
O que precisamos:
  • Saber o que significa “linearidade” (princípio da superposição).
  • Saber o que significa “invariança no tempo” (se deslocar a entrada desloca a saída da mesma forma).

Passo 2

Testando a linearidade
  1. Definição: um sistema é linear se, para quaisquer sinais S,a,x1[n] + b,x2[n] = a,Sx1[n] + b,Sx2[n] e ymix[n] = l(a,x1[n-2] + b,x2[n-2]r)^2 e constantes l(a,x1[n-2] + b,x2[n-2]r)^2 = a^2,x1^2[n-2] + 2ab,x1[n-2],x2[n-2] + b^2,x2^2[n-2] , valem
a,x1^2[n-2] + b,x2^2[n-2]
  1. No nosso caso, .
    • Pegamos .
    • A saída será
    • Expande:
    • Já a soma daria
    • Claramente não bate (aparece o termo cruzado e os coeficientes não batem).
      Portanto, o sistema não é linear.

Passo 3

Testando a invariança no tempo
  1. Definição: um sistema é invariante no tempo se, ao deslocar a entrada em yd[n] = Sxd[n] = l(xd[n - 2]r)^2 = x^2l[(n - 2) - n0r] = x^2[n - n0 - 2] , a saída resultante for exatamente a saída original deslocada em y[n - n0] = x^2[(n - n0) - 2] = x^2[n - n0 - 2] .
  2. Seja a entrada deslocada .
    • A saída desse sinal será
  3. Por outro lado, a saída original para é . Se a gente desloca essa saída em , fica
  4. Como , o sistema é invariante no tempo.

Resposta

O sistema não é linear e é invariante no tempo.

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