Determine os valores de r para que:
a EDO 2 y^{\prime \prime \prime}(t)+5 y^{\prime \prime}(t)-3 y^{\prime}(t)=0 tenha solução da forma y(t)=e^{r t}.

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO de terceira ordem com coeficientes constantes \;2\,y'''(t)+5\,y''(t)-3\,y'(t)=0
e pede soluções do tipo \;y(t)=e^{r t}. Para resolver, vamos usar o método do ansatz exponencial que leva a um polinômio característico em r.

Passo 2

Assumindo \;y(t)=e^{r t}, calculamos as derivadas: \;y'(t)=r\,e^{r t}, \;y''(t)=r^2\,e^{r t} e \;y'''(t)=r^3\,e^{r t}.
Substituindo na EDO: 2\,r^3\,e^{r t}+5\,r^2\,e^{r t}-3\,r\,e^{r t}=0.
Como e^{r t}\neq0, obtemos o polinômio característico 2\,r^3+5\,r^2-3\,r=0.

Passo 3

Fatorando r em 2r^3+5r^2-3r=0 r\,(2r^2+5r-3)=0.
A parte quadrática 2r^2+5r-3=0 tem raízes r=\frac{-5\pm\sqrt{25+24}}{4}=\frac{-5\pm7}{4},
logo r=\tfrac12 ou r=-3. Juntando com r=0 do fator extraído, as soluções são r=0,\;\tfrac12,\;-3.

Resposta

r=0,\;\tfrac12,\;-3

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