Para o caso do dipolo:
Considerando um dipolo de intensidade K=2 \pi :
  • O resultado será o mesmo da fonte e sorvedouro? Ou será similar? Mostre o resultado.
  • O que pode ser dito sobre o dipolo quando se avalia a distância entre a fonte e o sorvedouro?

Passo 1

O enunciado pede para comparar o potencial de um dipolo de intensidade \,K=2\pi, com o de uma fonte-sorvedouro e comentar o que ocorre ao fazermos a separação entre fonte e sorvedouro tender a zero. O conteúdo é fluxo potencial em 2D, usando superposição de potenciais de fonte e sorvedouro e expansão para pequenas distâncias.

Passo 2

Começamos com duas singularidades de intensidade +K/2 e -K/2 separadas em d sobre o eixo x. Em coordenadas polares (r,\theta) com o par centrado na origem, o potencial total é
\varphi(r,\theta) =\frac{K}{2\pi}\Bigl[\ln\bigl(r_+\bigr)-\ln\bigl(r_-\bigr)\Bigr],
onde
r_\pm=\sqrt{r^2\pm r\,d\cos\theta+\tfrac{d^2}{4}}.

Passo 3

Para d\ll r fazemos expansão de Taylor em d/r. Usando
\ln(r_\pm)=\ln r+\ln\Bigl(1\pm\frac{d}{2r}\cos\theta+O\bigl((d/r)^2\bigr)\Bigr) \approx\ln r\pm\frac{d}{2r}\cos\theta,
temos
\ln(r_+)-\ln(r_-)\approx\frac{d}{r}\cos\theta.
Logo
\varphi(r,\theta)\approx\frac{K}{2\pi}\,\frac{d}{r}\cos\theta.

Passo 4

Definimos a intensidade dipolar como
m=\frac{K\,d}{2\pi}.
Para K=2\pi isso dá m=d, e assim o potencial do dipolo fica
\phi_{\rm dip}(r,\theta) =m\,\frac{\cos\theta}{r} =d\,\frac{\cos\theta}{r}.

Passo 5

Comparando com a fonte-sorvedouro original, cujo potencial varia como \ln r, o dipolo decai mais rápido 1/r e exibe dependência angular \cos\theta. Logo, não é o mesmo potencial de uma fonte isolada, mas surge como limite (similar) da superposição fonte–sorvedouro quando d\to0 com m fixo.
Quando a separação d entre fonte e sorvedouro tende a zero, mantendo m=(K\,d)/(2\pi) constante, a superposição converge exatamente para o potencial dipolar
\phi_{\rm dip}(r,\theta)=m\,\frac{\cos\theta}{r},
isto é, uma singularidade sem fluxo líquido e com decaimento \sim1/r.

Resposta

  1. O potencial do dipolo é
\phi_{\rm dip}(r,\theta) =d\,\frac{\cos\theta}{r},
que não coincide com o de uma fonte (que varia como \ln r), mas é similar ao limite da superposição fonte–sorvedouro para d\to0.
2) À medida que a distância entre fonte e sorvedouro tende a zero, o par se comporta exatamente como um dipolo de intensidade m=d, com potencial \varphi\sim\cos\theta/r e nenhum fluxo líquido total.

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