Seja a EDO \frac{d y}{d t}+\frac{1}{t} y=t^{\frac{3}{2}} y^{2} onde y=y(t), t>0.
Considere a mudança de variável z(t)=y^{-1}(t) transforme a EDO (1) n
EDO \frac{d z(t)}{d t}-\frac{1}{t} z(t)=-t^{\frac{3}{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a EDO
\frac{dy}{dt} + \frac{1}{t}\,y = t^{\frac32}\,y^2,\quad t>0,
e pede para usar a substituição z(t)=y^{-1}(t) de modo a obter uma equação linear em z. O conteúdo aqui é reconhecer que essa é uma equação de Bernoulli e que a troca z=1/y a torna linear.

Passo 2

Como z=1/y, temos
y = \frac{1}{z} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\Bigl(z^{-1}\Bigr) = -\,z^{-2}\,\frac{dz}{dt}.

Passo 3

Substituímos \frac{dy}{dt} e y na EDO original:
-\,z^{-2}\,\frac{dz}{dt} \;+\;\frac{1}{t}\,\frac{1}{z} \;=\;t^{\frac32}\,\frac{1}{z^2}.

Passo 4

Multiplicamos tudo por -z^2 para limpar frações e reorganizamos:
\frac{dz}{dt} \;-\;\frac{1}{t}\,z \;=\;-\,t^{\frac32}.

Resposta

A EDO transformada em z é
\frac{dz}{dt} - \frac{1}{t}\,z = -\,t^{\frac32}.

Exercícios relacionados